Divulgación dudas con un hamiltoniano

[alexandra blanco]

tengo una duda en este ejercicio

un sistema fisico está dado por una particula con hamilitoniano H=-h/2m Y"(x) el cual se encuentra en el estado estacionario
Y(x) = A ((2+3i)senB-(2-i)senC )) para el dominio x pertenece (0,L) donde A es una constante real

1.- que resultado se puede obtener al medir H en el estado sen(pi x /l) y sen (2 pi x /)

mi duda es que si ya yo tengo la energia de esa ecuacion, donde voy a medir los estados que me dan? en la funcion inicial? y evaluo el dominio? y si es asi, para que me sirve la energia en este ejercicio?.

[aLFRe]

Re: dudas con un hamiltoniano

tengo una duda en este ejercicio

un sistema fisico está dado por una particula con hamilitoniano H=-h/2m Y"(x) el cual se encuentra en el estado estacionario
Y(x) = A ((2+3i)senB-(2-i)senC )) para el dominio x pertenece (0,L) donde A es una constante real

1.- que resultado se puede obtener al medir H en el estado sen(pi x /l) y sen (2 pi x /)

mi duda es que si ya yo tengo la energia de esa ecuacion, donde voy a medir los estados que me dan? en la funcion inicial? y evaluo el dominio? y si es asi, para que me sirve la energia en este ejercicio?.

Bueno...bueno... lo que yo he entendido.
Por la pinta que tiene lo que has escrito es una partícula confinada
entre dos paredes infinitas. Tienes energía cinética solo,
luego el operador hamiltoniano es
$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}$
Luego tienes dos estados
$\psi_1= \sin (\frac{\pi x}{L})$
$\psi_2= \sin (\frac{2\pi x}{L})$
primero tienes que normalizarlos ( cada uno) esto es calcular la constante C tal que
$\int_0^L (C\psi_1)^*(C\psi_1) dx =1$
* es conjugar en este caso funciones son reales y los coeficientes pues tomalos como reales porque la función de onda está definida salvo una fase global.

Y por último debes de calcular el valor esperado de la energía esto es
$<\psi|H|\psi>$
Para este hamiltoniano es
$E_1= \int_0^L \,dx\,(C\psi_1)^*(-\frac{\hbar^2}{2m})\frac{d^2 C \psi_1}{dx^2}$
y similar para la $\psi_2$

No sé si el primer estado hace referencia a otra parte del problema
que yo no he entendido... por lo cual, perdón si me he equivocado...
uff a ver si he metido la pata ahora en algo básico de cuántica...
Un saludo.

[alexandra blanco]

Re: dudas con un hamiltoniano

gracias por escribir las ecu. correctamente... se que hay deficiendia en mi enunciado por eso mismo.

ok alfre, yo normalice la funcion completa que mostre (no con la elegancia que tu lo haces pero es que aun no se hacerlo) y claro obtuve el valor de "A" ademas de eso busque la energia HY"=EY pero no se si debo hacer lo que tu me dices, que debo normalizar unicamente los estados sen ( ).
ya que la ecuacion es otra.

Y(x) = A ((2+3i)senB-(2-i)senC )) - si puedes por favor re escribir

B= (pi x/l) y C= (pi x /) - exactamente los que tu escribiste

[Jose D. Escobedo]

Re: dudas con un hamiltoniano

Basicamente, tienes un estado estacionario que es una mezcla de dos estados y te estan pidiendo que encuentres la energia de cada estado operando el hamitoniano para cada uno. Sigue los pasos que te dijo aLFRe a exepcion del primero por que tienes que normalizar el estado completo. Entonces, encontraras lo que se te pide.

$\left|A\right|^2 \int_0^L \left( C_1^\ast C_1 \psi_1^\ast \psi_1 + C_2^\ast C_2 \psi_2^\ast \psi_2 \right) dx = 1$

[alexandra blanco]

Re: dudas con un hamiltoniano

al medir en H esos estados estacionarios lo que realmente estoy obteniendo es la energia en cada uno de essos estados?

[Jose D. Escobedo]

Re: dudas con un hamiltoniano

Si, eso es cierto

[Jose D. Escobedo]

Re: dudas con un hamiltoniano

y ademas las probilidades de cada energia para su estado correspondiente

$\hat H \left| \psi \right >= \hat H \left( A\left| \psi_1 \right > + B \left| \psi_2 \right> \right)$

$\hat H \left| \psi \right> = E_1 A \left| \psi_1 \right> + E_2 B \left| \psi_1 \right>$ ...(1)

$\left< \psi \right|=\left< \psi_1 \right| A^\ast + \left< \psi_2 \right| B^\ast$...(2) =>

$\left< \psi \right| \hat H \left| \psi \right> = \left| A \right|^2 E_1 + \left | B \right|^2 E_2$

de donde $\left| A \right|^2$ y $\left| B \right|^2$ son las probabilidades.

[alexandra blanco]

Re: dudas con un hamiltoniano

pero las constante A y B como las indentifico en mi funcion?

Y(x)=A(2+3i)sin(pi/L x)-A(2-i)sin(2pi/L x)

y tengo dos estados sen (pi/L x) y sin(2pi/L x)

de hecho tengo que medir H en el estado Y obtener las probabilidades.

[Jose D. Escobedo]

Re: dudas con un hamiltoniano

las tienes que encontrar:

from post #4 you find A first

$\int_0^L \psi^\ast \psi dx = \left| A \right|^2 \int_0^L ( 13 \sin^2 ( \frac{\pi x}{L}) + 5 \sin^2 (\frac{2 \pi x}{L} ) )dx = 1$

$(2-3 i ) (2 + 3 i) = 4+9 = 13$ y $(2+i)(2-i) = 4+1=5$

=> $\left| A \right|^2 ( 13 \int_0^L \sin^2 (\frac{\pi x}{L}) dx + 5 \int_0^L \sin^2 (\frac{2 \pi x}{l} ) dx ) = 1$

let be $u = \frac{\pi x}{L} \Rightarrow dx = \frac{L}{\pi} du$
$x=0 \rightarrow u=0$ $x=L \rightarrow u=\pi$ for the first integral

let be $t =\frac{2 \pi x}{L} \Rightarrow dx = \frac{L}{2 \pi} dt$
$x=0 \rightarrow t=0$ $x=L \rightarrow t= 2 \pi$ for the second integral

=> $\left| A \right|^2 ( 13 \frac{L}{\pi} \int_0^{\pi} \sin^2 u du + 5 \frac{L}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} sin^2 t dt) = 1$

$\left| A \right|^2 ( 13 \frac{L}{\pi} ( \frac{u}{2} - \frac{1}{4} \sin 2u )_0^{\pi} + 5 \frac{L}{2 \pi} (\frac{t}{2} - \frac{1}{4} \sin 2t )_0^{2 \pi} ) =1$

$\left| A \right|^2 (\frac{13 L}{2} + \frac{5 L}{2} ) = 1$

$\left| A \right|^2 9L =1$
=> $\left| A \right|= \frac{1}{3} \sqrt (\frac{1}{L})$

=> $\left| \frac{1}{9L} \right| ( 13 \frac{L}{2} + 5 \frac{L}{2}) = 1$

$\frac{13}{18} + \frac{5}{18} =1$

Now, from post #7

$\left| A' \right|^2 = \frac{13}{18}$ and $\left| B \right|^2 = \frac{5}{18}$

the energy for the "n" state is :$E_n = \frac{n^2 \hbar^2 \pi^2}{2 m L^2}$ and you have a mixture of states 1 and 2

[alexandra blanco]

Re: dudas con un hamiltoniano

de verdad gracias...

si de hecho me toco normalizar A para que el estado Y este normalizado y ese fue el resultado que me dio justamente la primera que tu colocaste, solo que no sabia que era esala que tenia que considerar para esta parte del ejercicio.

muchas GRACIAS. por preocuparte en el ejercicio.

el problema que me mandaron es algo largo. estoy trabajando en este momento en el valor medio del momento lineal, y de igual forma que las anteriores esta super interesante el ejercicio.

[alexandra blanco]

Re: dudas con un hamiltoniano

y hablas ingles?

[Jose D. Escobedo]

Re: dudas con un hamiltoniano

si un poco; pero siguiendo con el tema se puede probar con el hamiltoniano tambien:

para el #1 $\Rightarrow$ $\int_0^L \sqrt(\frac{1}{9L})^\ast (2 +3i)^\ast \sin^{ \ast}( \frac{\pi x}{L}) \hat H \sqrt(\frac{1}{9L} (2+3i) \sin (\frac{\pi x}{L}) dx= \frac{13}{9L} \int_0^L \sin (\frac{\pi x}{L}) \hat H \sin (\frac{\pi x}{L})dx$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

que finalmente da $\frac{13}{18} \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2}$ $\'o$ $\frac{13}{18} E_1$.

Lo mismo se puede hacer para el #2

Hasta luego y espero que eso te haya ayudado.

[alexandra blanco]

Re: dudas con un hamiltoniano

ok, gracias