2o ciclo Función de onda de electrón en potencial

[leo_ro]

Debo encontrar la función de onda de un electrón el cual está entre una diferencia de potencial V= 18 [KV] constante.

$\dst - \frac{{h}^{2}}{2m} \frac{{\partial}^{2} \Psi (x,t)}{{ \partial x}^{2}}+ \Psi(x,t) V = i h \frac{\partial \Psi (x,t) }{\partial t}$

en donde $h$, es $h / 2 \pi$ , lo único que no sé como graficar ese síimbolo.

El problema es que no tengo ni idea como resolver esa ecuación diferencial. Me dan una ayuda.

Sustituyendo los valores números:

$\dst -( 6.19*{10}^{-39}[J]) \frac{{\partial}^{2} \Psi (x,t)}{{ \partial x}^{2}} + (18000 [V]) \Psi(x,t) = i (1.05*{10}^{-34}) \frac{\partial \Psi (x,t) }{\partial t}$

Sino, ¿saben como resolver esta ecuación en el mathematica?. Porque DSolve es para ecuaciones diferenciables de variable simple

[alexpglez]

Re: Función de onda de electrón en potencial

Puedes separar variables.
buscando una solución:

$$\Psi(x,t)=X(x)T(t)$$

Probar y a ver que pasa.
Sobre h barra, se escribe \hbar
Suerte

[leo_ro]

Re: Función de onda de electrón en potencial

A ver no conosco ese método pero suponiendo que es lineal la función de onda primero la resuelvo para

$\dst -( 6.19*{10}^{-39}[J]) \frac{{\partial}^{2} X(x)}{{ \partial x}^{2}}Y(t) + (18000 [V]) X(x)Y(t) =- j \frac{\partial Y(t)}{\partial t}$

¿Y ahora como tendría que proceder?

Otra cosa, veo que en la ecuación de Schodringer no se tiene en cuenta la velocidad o momento inicial.

[alexpglez]

Re: Función de onda de electrón en potencial

No te sé decir muy bien sólo estoy en bachillerato y no tengo mucha idea, pero no puedes saber realmente la velocidad en ningún punto sólo su probabilidad, por tanto no se puede hacer lo que dices.
Yo dejaría las constantes su valor y después calculas numéricamente, ya que es un poco lioso leerla así.
Ese método es para cualquier ecuación en derivadas parciales, por cierto, te faltó el X(x) en el último término.
Algo que puedes probar a hacer es dividir toda la ecuación entre X(x) y Y(t)

PD: si no consigues llegar a ninguna conclusión, lo dices y mañana te ayudo a resolverlo.

- - - Actualizado - - -

Bueno, no sé si debería escribirlo, pero te veía perdido. Por lo que te he comentado, si buscamos que:

$$\Psi=X(x)T(t)$$

Transformamos la ecuación así:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 X(x)T(t)}{\partial x^2}+VX(x)T(t)=i\hbar \frac{\partial X(x)T(t)}{\partial t}$$

Ahora bien, cómo X no depende de t ni T de x, como hemos definido previamente, podemos quitar esas funciones de la derivada, y a su vez como X sólo depende de x y T de t, podemos ya escribirlas como derivadas totales.

$$-\frac{\hbar^2}{2m}X''T+VXT=i\hbar T'X$$

Ahora nos podemos dar cuenta de que podemos separar las variables, dividiendo la expresión por XT.

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{X''}{X}+V=i\hbar \frac{T'}{T}$$

Que como se ve, el cada lado de la ecuación no puede variar a su antojo, ya que si no eso no sería igual. Por tanto si son constantes los lados de la ecuación e iguales podemos igualar todo a una constante.

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{X''}{X}+V=i\hbar \frac{T'}{T}=E$$

Finalmente quedan dos ecuaciones diferenciales que resolver.

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\dd^2 X}{\dd x^2}=(E-V)X$$

$$i\hbar \frac{\dd T}{\dd t}=ET$$

[leo_ro]

Re: Función de onda de electrón en potencial

A ver gente, resolviendo las ecuaciones diferenciales obtuve:

$\dst X(x) = {e}^{\frac{\sqrt{2} \sqrt {E m + V m}}{h }} + {e}^{- \frac{\sqrt{2} \sqrt {E m + V m}}{h }}$

$\dst T(t) = {e}^{- \frac{i E t}{h }}$

De manera que:

$\dst \Psi (x,t) = {e}^{\frac{\sqrt{2} \sqrt {E m + V m} - i E t}{h }}+ {e}^{- \frac{\sqrt{2} \sqrt {E m + V m} - i E t}{h }}$

Lo que concuerda con la ecuación de una onda viajera. Al igual que la onda electromagnética, es decir:


¿Es correcto?

[alexpglez]

Re: Función de onda de electrón en potencial

Te faltó añadir las constantes de integración y los i en la ecuación X, además que recordemos que era (E-V) y en vez de un menos pusiste un +. Por lo demás creo que sí.
A partir de ahí no sé seguir, habría que encontrar los coeficientes de la serie, mediante un análisis de fourier, y normalizarla, es decir, la integral de el cuadrado del valor absoluto de la función extendida por todo el volumen de 1, conservación de la probabilidad.
Pero cómo esto último no lo entiendo muy bien no he trasteado más con la ecuación.
Siento no poder ayudarte más. Suerte.

PD: corregido esto prueba a observar cómo sería la probabilidad de encontrar una partícula que ha pasado una barrera de potencial mayor que su energía E (no me preguntes cómo se sabe qué es la energía de la partícula, pero concuerda con la ecuación)