2o ciclo Dudas sobre las ecuaciones de Klein Gordon y Dirac

[javier m]

Bueno, en miras de extender la Ec de Schrodinger al caso relativista, se propusieron las dos ecuaciones del titulo del hilo. Mi pregunta es si estas ecuaciones se pueden reducir a la ecuación de Schrodinger ordinaria de alguna manera

Klein Gordon
$E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$
$(i \hbar \frac{\partial }{\partial t })^2 \phi=(-ic\hbar \nabla)^2 \phi+(mc^2)^2 \phi$

Dirac

$(i \hbar \frac{\partial }{\partial t }) \psi=(\vec{\alpha} \cdot (-ic\hbar \nabla)+\beta (mc^2))\psi$

Lo otro es, si yo quiero hallar la supuesta función de onda para una particula en un potencia $V(\vec{r})$, ¿cómo debería escribir las ecuaciones ?

así?

Dirac:
$(i \hbar \frac{\partial }{\partial t }) \psi=(\vec{\alpha} \cdot (-ic\hbar \nabla)+\beta (mc^2)+V(\vec{r}))\psi$

Klein gordon

$E=\dst\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}+V$ $\Rightarrow E^2=(pc)^2+(mc^2)^2+V^2+2V\dst\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}$


Luego, $(i \hbar \frac{\partial }{\partial t })^2 \phi=(-ic\hbar \nabla)^2 \phi+(mc^2)^2 \phi+V^2\phi+2V\dst\sqrt{(-ic\hbar \nabla)^2 +(mc^2)^2} \phi )$ (se nota que estoy desvariando)


Saludos.

[Miquel Bernat]

Re: Dudas sobre las ecuaciones de Klein Gordon y Dirac

Para un campo de Klein-Gordon libre , se puede encontrar la solución general para ondas planas:


Es la única que conozco. Para el caso del potencial V(r) creo que se usan otros métodos.
Para hallar KG se asume que para describir un sistema relativista, debe encontrarse un hamiltoniano diferente. De acuerdo con la relación masa-momento-energía de Einstein, la energía total de un sistema viene dada por la expresión:


Que es lo mismo que:


solo que sin la raíz.
Insertando esta expresión en la ecuación de Schrödinger por H(PSI) :





Elevando al cuadrado en ambos miembros se obtiene:


Que es la ecuación de KG que describe la energía que tiene una partícula relativista.
He copiado las fórmulas de Wikipedia y de otras páginas porque aún no domino LATEX.

Un saludo

- - - Actualizado - - -

El enlace de abajo:

http://forum.lawebdefisica.com/entri...e-Klein-Gordon

demuestra que si se puede deducir la ecuación de Schrödinger a partir de la de KG.

Un saludo.

[carroza]

Re: Dudas sobre las ecuaciones de Klein Gordon y Dirac

Hola.

La ecuación de Klein Gordon se deduce a partir de aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a una densidad lagrangiana para un campo escalar.

La ecuación de Dirac se deduce a partir de aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a una densidad lagrangiana para un campo espinorial.

Para meter una interacción, en cualquiera de ellas, no puedes introducir un potencial por las buenas. Si haces eso, te cargas las propiedades de covariancia relativista.

Lo que se hace es introducir en la densidad lagrangiana un término de interacción, que involucra a los campos, pero que es invariante Lorentz. Luego, aplicas a este lagrangiano las ecuaciones de Euler-Lagrange, y te sale el equivalente a la ecuación de Dirac, o de Klein gordon, con interacción.

Puedes mirar, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Klein%E...ordon_equation

Saludos

[javier m]

Re: Dudas sobre las ecuaciones de Klein Gordon y Dirac

Hola.

La ecuación de Klein Gordon se deduce a partir de aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a una densidad lagrangiana para un campo escalar.

La ecuación de Dirac se deduce a partir de aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a una densidad lagrangiana para un campo espinorial.

Para meter una interacción, en cualquiera de ellas, no puedes introducir un potencial por las buenas. Si haces eso, te cargas las propiedades de covariancia relativista.

Lo que se hace es introducir en la densidad lagrangiana un término de interacción, que involucra a los campos, pero que es invariante Lorentz. Luego, aplicas a este lagrangiano las ecuaciones de Euler-Lagrange, y te sale el equivalente a la ecuación de Dirac, o de Klein gordon, con interacción.

Puedes mirar, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Klein%E...ordon_equation

Saludos

O sea que en el contexto de la mecánica cuántica relativista (sin campos) esas ecuaciones son bien inutiles.

[carroza]

Re: Dudas sobre las ecuaciones de Klein Gordon y Dirac

O sea que en el contexto de la mecánica cuántica relativista (sin campos) esas ecuaciones son bien inutiles.

La ecuación de dirac, introduciendo un campo electromagnético estacionario, es la que sirve para dar bien las propiedades del átomo de hidrógeno.

La ecuacion de klein gordon no tiene una aplicación tan clara.

[Miquel Bernat]

Re: Dudas sobre las ecuaciones de Klein Gordon y Dirac

Como se puede demostrar teóricamente la existencia del positrón a partir de la ecuación de Dirac?