Secundaria Acerca de la hipótesis de Broglie

[Visitante]

Acabo de ver la hipótesis de Broglie $\lambda=\frac{h}{ p}$ en un libro, me gustaría saber de dónde saca esa ecuación al igual que la hipótesis porque me he quedado desconcertado al leer que Broglie pensó que todo se comporta como una onda cuya longitud está determinada por la ecuación de arriba (muy precipitado decirlo de esta forma) donde $\lambda$ es la longitud de onda, $h$ la constante de Planck y $p$ el momento lineal.

Cabe considerar que para la luz esto no se cumple debido a que no tienen masa, por tanto surge una indeterminación. Sin embargo, la luz tiene diferentes longitudes de ondas. ¿Por esta razón se puede venir abajo la hipótesis de Broglie?

[alexpglez]

Re: Acerca de la hipótesis de Broglie

No se puede demostrar, precisamente por eso se llama hipótesis, pero sí que a partir de la fórmula de Planck y la de la relatividad, se puede deducir.
Recordemos que en toda onda:

$$\lambda \nu=v_f$$

La velocidad de fase de una onda luminosa sabemos que es c, la velocidad de la luz.
Por la fórmula de la relatividad, y cómo la masa del fotón es 0.

$$E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}=pc$$

Pero por la fómula de Planck.

$$E=h \nu=\frac{h}{\lambda}c$$

Si suponemos que las dos son verdad.

$$E=pc=\frac{h}{\lambda}c$$

$$p=\frac{h}{\lambda}$$

Llegamos a la expresión del momento del fotón, ahora si por hipótesis o intuición pensamos que ondas pueden ser partículas y partículas, ondas. Podemos suponer que esa fórmula será la misma para un fotón o cualquier otra partícula. Y bueno, como ejercicios de curiosidad este año nos hacían calcular la longitud de onda de un coche, evidentemente, sale un valor tan minúsculo que explica por qué nos funciona bien la mecánica Newtoniana en la vida cotidiana.

Leí un dato histórico que decía que Hamilton podría haber descubierto la mecánica cuántica él sólo, intentando buscar una descripción de la acción que sirva para ondas. Suponiendo que la fase de ondas fuese proporcional a la acción, (esta es, $\frac{dS}{dt}=pv-Et$). Vamos a suponer esto:

$$Ae^{i(kx-\omega t)}=Ae^{i(px-Et)/\hbar}=Ae^{iS/\hbar}$$

(Escribo la constante de planck, porque evidentemente esa es la constante física que interviene)
No sé si llegó a escribir la ecuación diferencial para la acción en este caso, y ver que para valores pequeños de h, la ecuación conducía a la que ya conocía. Lo que leí es que aunque pudo haber llegado a la física cuántica, no tenía ninguna evidencia experimental para saber qué era h. Pero sí la hubiese reconocido esa constante hubiese deducido ya la ecuación de Planck o de De Broglie.
Lo cuento como curiosidad, mero dato histórico.

Saludos

Por cierto, si además una vez asentado este concepto quieres continuar viendo la demostración de la ecuación de Schrödinger, está en el club de demostraciones y es fácil de entender, simplemente ir derivando cualquier tipo de onda, como la anterior que escribí. Alguna puntualización (por si no sabes el significado, que no lo sé).

$$\hbar=\frac{h}{2\pi}$$

$$\vec p=\hbar \vec k$$

$$E=\hbar \omega$$

$$\vec k=\frac{1}{\lambda}\hat u$$

$$\omega=2\pi \nu$$

Dónde u, (u, por designarlo de alguna manera), es un vector unitario en la dirección que se propaga la onda.