Otras carreras Paquete de ondas viajero

[alexpglez]

Hola, cómo es la fórmula de las condiciones iniciales para un paquete de ondas, de los tipos gaussiano y delta de Dirac¿???. Pensé que como:

$$f(x)=\delta (x-a)$$

$$f(x)=e^{-kx^2}$$

Añadiendo una exponencial, se transformaba el paquete en viajero.

$$f(x)e^{ik_0x}$$

Pero lo he probado a representar con una delta de Dirac, y me produce casi el mismo resultado (no se mueve, sólo aparece un término imaginario).

Un saludo, gracias.

[Julián]

Re: Paquete de ondas viajero

no te endiendo bien. La delta de dirac que pones es un pulso de magnitud 1 en el valor x=a.

$f(x) = {e}^{-k{x}^{2}}$

es una función (señal)


En donde k es el "ancho" de dicha señal.

Ahora para que sea un paquete viajero, tiene que cumplir que dicha señal sea una función resultado de la ecuación de onda, es decir, la señal tiene que desplazarse con una velocidad a lo largo del eje:

$\dst f(x) = {e}^{-k{(x- vt)}^{2}}$

en donde v es la velocidad de la señal en el dominio. Si te fijas el valor 1 de la gráfica que adjunté está para x=0, es decir, el exponente es cero. Pero en la función de onda el exponente es cero cada vez que x-vt sea cero, es decir, si la velocidad es 1m/s, en el instante de 1 segundo será cero el exponente cuando x=1 y "la función se desplazó".

La siguiente gráfica es $\dst {e}^{-{(x- 1[m/s] (1[s]))}^{2}}$

Añadiendo una exponencial, se transformaba el paquete en viajero.

???, la exponencial compleja puede ser solución a la ecuación de onda, así como la senoidal y la cosenoidal, ya que la exponencial compleja está formada por dichas funciones.

Una senoidal que cumple con la ecuación de onda, es decir, sea función de onda sería:

$f(x,t) = A sen (x - v t) = A sen (k x - \omega t)= Im \{ {e}^{j (k x- \omega t)} \}$

Pero lo he probado a representar con una delta de Dirac, y me produce casi el mismo resultado (no se mueve, sólo aparece un término imaginario).

Una delta es en general para el muestreo, una delta que "se mueva" sería:

$f(x,t) = \delta (x - v t)$

[alexpglez]

Re: Paquete de ondas viajero

Estaba leyendo esto mismo aquí:
Y no entendía como suponía paquetes de ondas viajeros.
Me perdí en las explicaciones que vienen a la mitad más o menos, junto a estas fotos:

Y también quería extrapolarlo a la delta de Dirac, pero al representar en un programa de ordenador la onda generada por las funciones.
Vi que daba lo mismo:

$$\delta (x-a)$$

que

$$\delta (x-a)e^{ikx}$$

Excepto por la parte alguna parte imaginaria proveniente de la exponencial, representaba lo mismo, en la última no me generaba ninguna delta moviéndose hacia la derecha.Lo siento, sé que sigo sin explicarme muy bien, igual el texto ayuda a comprender que es lo que quiero. Es parecido a la partícula libre sólo que lo estoy haciendo en una superposición de estados en una caja de paredes de potencial infinitas.

[Julián]

Re: Paquete de ondas viajero

Bueno las funciones de onda que pusiste a lo primero, son funciones de ondas complejas. El factor ${e}^{j (k.x- \omega t)}$ es la parte de la onda viajera y hace que dicha función sea una función de onda. El término ${e}^{-({k-{k}_{0})}^{2} / 2 {(\Delta k)}^{2}}$ es la amplitud o peso de la función de onda.

Al integrala la expresión anterior también te da una función de onda y la expresión $\phi (x,0)$ es la función evaluada en el instante cero que te da una "foto" de la función en dicho instante a lo largo de todo el espacio x

Vi que daba lo mismo:

La función $\delta (x-a)$ es 0 para todo valor de x menos en x=a donde vale 1. Esto es por definicion ya que $\delta (x=0) =1$. Pero en este caso tienes un desplazamiento $x-a$ que será cero cuando $x=a$ ya que $\delta (a-a)=1$.

La función ${e}^{ikx}$ es una función periódica dependiente de x cuya amplitud es 1, es decir, si escribo la amplitud $1 {e}^{ikx}$. Si multiplicas dicha función periódica por $\delta (x-a)$, el delta será 0 siempre salvo en x=a que toma el valor de 1, así que

$\delta (a-a). {e}^{ika} = 1 {e}^{ika}$

Para cualquier otro valor de x la delta será 0

$\delta (b-a). {e}^{ikb} = 0 {e}^{ikb}$

Si quieres hacer un muestreo sería, el valor a tendría que ser una variable, que fisicamente sería el tiempo y de esa menera no solamente tienes una función que depende de x sino también de t:

$f(x,t) = \delta (x - t) {e}^{ikx}$

Es decir, vas tomando los valores de la función ${e}^{ikx}$ solamente en los puntos donde se posiciona la delta. Así para t=0, tomarás el valor ${e}^{ik0}$, para t=1 tomarás el valor ${e}^{ik1}$, etc. Como vez podés representar la función ${e}^{ikx}$ completamente de la siguiente manera:

$\dst g(x) = {\int}_{-\infty}^{ \infty} \delta (x - t) {e}^{ikx} dt= {e}^{ikx}$.


Dirás quizás para que sirve. Pues cuando escuchas música en la pc, antes lo convirtió a digital lo que es en esencia analógico (el sonido) y esto lo hace haciendo un muestreo y a ese valor lo codifica según algún formato. Es decir, toma el valor de la señal donde se posiciona la delta, cualquier otro valor está multiplicado por cero.

Es parecido a la partícula libre sólo que lo estoy haciendo en una superposición de estados en una caja de paredes de potencial infinitas.

La delta y el muestreo no te serviría aca. Lo que quizás quieres hacer referencia es a la serie de fourrier. ¿? Es decir, viste como presenté la función e^ikx con los delta, la que llamé g(x), bueno puedes representar cualquier función mediante la transformada de fourrier (si la señal es aperiódica) o la serie de fourrier si la señal es periódica:

$f(x) = \sum_{n = 0}^ i {a}_{n} {e}^{i k n x}$

$f(x) = \int X (i k) {e}^{i k x} d k$

En donde ${e}^{i k x}$ es la función base, con la cual representas a cualquier función (como un delta) y ${a}_{n}$ son los coeficientes espectrales y $X (i k)$ es el densidad espectral, uno para señales periódicas y otra para señales aperiódicas. ambos dan el factor de cuanto hay de esa frecuencia para que en la suma con las demás frecuencias de la señal total.

Que es lo que estás haciendo, recién me doy cuenta. ${e}^{-({k-{k}_{0})}^{2} / 2 {(\Delta k)}^{2}}$ es el espectro espacial.

Es decir, la función $\psi(x,t)$ está constituida de infinitas señales (estados), es decir, la suma de estos estado con diferentes fases da la señal total. Pero en vez de hacer la transformada de fouerrir para la frecuencia se hace para el espacio.

Como está constituida de muchas señales $\psi(x,t)$, está localizada, por eso tendría la forma de campana de gauss y por ende comportamiento de partícula.

$\lambda = h /p$

$\lambda = 2 \pi / k$

Cuantos k hay, al ser una transformada, teoricamente infinito y por ende infinitas $\lambda$, una para cada función de onda, las cuales en la suma de dichas funciones darían la función $\psi(x,t)$. Como hay muchas lamdas hay muchos momentos por lo que hay indeterminación en estos y determinación en la posición, el x=0 (pico en la campana de gauss)

[Breogan]

Re: Paquete de ondas viajero

Hola:

Lo siguiente:

La función es 0 para todo valor de x menos en x=a donde vale 1. Esto es por definicion ya que . Pero en este caso tienes un desplazamiento que será cero cuando ya que .

entra en conflicto con lo que creo recordar de mis clases de análisis.
La función delta de Dirac no se definía como:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

No me acuerdo si lo siguiente era parte de la definición, o se deducia de ella

$\dst \delta (x - x_0) = \mu' (x - x_0)$ donde $\mu (x - x_0)$ es la función escalon.

y

$\dst \int_{-\infty}^{\infty} \ f(x) \ \delta(x - x_0) \ dx = f(x_0)$

Del tema del hilo poco se, pero esto me llamo la atención y me gustaría sacarme la duda.

s.e.u.o.

Suerte

[alexpglez]

Re: Paquete de ondas viajero

Estoy leyendo esto de aquí http://la-mecanica-cuantica.blogspot...re-ii.html?m=1 antes se me olvidó escribir los enlaces. Después me intentaré explicqr mejor.Un saludo

- - - Actualizado - - -

En una partícula en una caja, se que su función de onda es:

$$\phi_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n \pi}{L}x)e^{-i\frac{\hbar n^2 \pi^2}{2mL^2}t}$$

$$\psi(x,t)=\sum_n c_n \phi_n$$

Ahora si sé que tengo de condiciones iniciales, (añado el término exponencial con el cual creía que la onda se desplazaba):

$$\psi(x,0)=A \delta (x-x_0)e^{ik_0 x}$$

Ahora como el conjunto de las funciones de onda son ortonormales, me permite calcular los coeficientes:

$$c_n=\int_0^L \phi_n(x,0) \psi(x,0) dx=\int_0^L \sqrt{\frac{2}{L}} sin(\frac{n \pi}{L}x) A \delta (x-x_0)e^{ik_0 x} dx=$$

$$=A \sqrt{\frac{2}{L}} \sin(\frac{n \pi}{L}x_0) e^{ik_0 x_0}$$

La condición de normalización:

$$\sum_n \vert \vert c_n \vert \vert ^2=A^2 \frac{2}{L} \sum_n \sin ^2 (\frac{n \pi}{L}x_0)=1$$

$$A=\sqrt{\frac{L}{2}}\sqrt{\frac{1}{\sum_n \sin ^2 (\frac{n \pi}{L}x_0)}}$$

Por tanto:

$$c_n=\sqrt{\frac{1}{\sum_k \sin ^2 (\frac{k \pi}{L}x_0)}} \sin(\frac{n \pi}{L}x_0) e^{ik_0 x_0}$$

Pero al computar los resultados, no noto que se mueva el paquete de ondas, en teoría debería tener un momento inicial a: h * k_0¿?

[carroza]

Re: Paquete de ondas viajero

Hola.

Supongo que estas estudiando paquetes de ondas que representan a una partícula no relativista, libre, con masa m. En ese caso, la frecuencia está relacionada con el número de onda a través de
$\omega = \hbar k^2 / 2 m$.

A partir de aquí, sabemos que una onda plana, que inicialmente viene dada como
$\psi(x,0) = \exp(i k x)$,
varía con el tiempo según
$\psi(x,t) = \exp(i k x- \omega t)$.

A partir de aquí, puedes encontrar la evolución temporal de cualquier función de onda de la que sepas su condición inicial para t=0. Simplemente, le haces un desarrollo de Fourier, y a cada componente $\exp(i k x)$ le sustituyes por
$\exp(i k x- \omega t)$.

Ten cuidado de que $\omega$ depende de $k$. Si no pones esta dependencia, tus ondas no viajan, ni se deforman, ni cambian.

Un saludo

[Julián]

Re: Paquete de ondas viajero

Breogan yo hacía referencia al impulso unitario, lo que pasa es que lo menciono como delta disculpen si en algún momento lo mencioné como delta de dirac.

Pero al computar los resultados, no noto que se mueva el paquete de ondas, en teoría debería tener un momento inicial a: h * k_0¿?

No es una onda viajera porque no hay componente temporal, es un onda estacionaria (oscila en el mismo espacio) para que se desplace necesitas la expresión $i (k x - \omega t)$

[Breogan]

Re: Paquete de ondas viajero

Hola:

Tengo algunas dudas sobre tu post #6:

En una partícula en una caja, se que su función de onda es:

$$\phi_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n \pi}{L}x)e^{-i\frac{\hbar n^2 \pi^2}{2mL^2}t}$$

Esto es correcto con la salvedad de que se trata de $\psi_n (x,t)$, y es la función de onda de la partícula y no un elemento de la base del espacio solución de la ecuación de Schrodinger.

El espacio solución de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo:

$\dst - \frac {\hbar^2}{2m}\ \frac {d^2 \phi(x)}{dt^2} = E \phi(x)$

tiene solo dos elementos independientes:

$\dst \phi_1(x) = sen (a \ x) \quad y \quad \phi_2(x) = cos (b \ x)$

y la solución general es:

$\dst \phi (x) = A \ \phi_1(x) + B \ \phi_2(x)$

Si no me acuerdo mal las constantes salen de reemplazar $\phi_1 \ y \ \phi_2$ en la ED, y las condiciones de frontera para $\phi (x)$, en este procedimiento también aparece la cuantización de la energía.

Una determinada partícula en una caja puede tener solo un estado de energía determinado (entre todos los posibles En) en un instante determinado. Lo cual implica que para una partícula determinada n asume un valor concreto.

P.e. una partícula en su estado fundamental (n=1) tendrá una función de onda $\psi_1 (x,t)$ con una energía $E_1 = \frac {h^2}{8 \ m \ L^2}$, y para esta partícula resulta que $\psi_2 (x,t) = \psi_3 (x,t) = ..... = \psi_n (x,t) = 0$.

Por lo cual la siguiente expresión no es valida para una partícula en una caja:

$$\psi(x,t)=\sum_n c_n \phi_n$$

Pero si seria valida para un sistema de n partículas en una caja pero con energías diferentes, y que no interactuan entre ellas ??????

Pero al computar los resultados, no noto que se mueva el paquete de ondas, en teoría debería tener un momento inicial a: h * k_0¿?

La función de onda de un partícula en una caja es una onda estacionaria y no una onda viajera, lo cual no implica que la partícula no se este moviendo y que no tenga momento lineal.

Por lo que puedo interpretar creo entender que vos queres identificar la función de onda con la partícula material y su movimiento, y esto no es correcto.

Todo esto dicho desde mi escaso conocimiento, y mi pobre memoria.

s.e.u.o.

Suerte

[alexpglez]

Re: Paquete de ondas viajero

Hola:

Tengo algunas dudas sobre tu post #6:



Esto es correcto con la salvedad de que se trata de $\psi_n (x,t)$, y es la función de onda de la partícula y no un elemento de la base del espacio solución de la ecuación de Schrodinger.

El espacio solución de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo:

$\dst - \frac {\hbar^2}{2m}\ \frac {d^2 \phi(x)}{dt^2} = E \phi(x)$

tiene solo dos elementos independientes:

$\dst \phi_1(x) = sen (a \ x) \quad y \quad \phi_2(x) = cos (b \ x)$

y la solución general es:

$\dst \phi (x) = A \ \phi_1(x) + B \ \phi_2(x)$

Si no me acuerdo mal las constantes salen de reemplazar $\phi_1 \ y \ \phi_2$ en la ED, y las condiciones de frontera para $\phi (x)$, en este procedimiento también aparece la cuantización de la energía.

Una determinada partícula en una caja puede tener solo un estado de energía determinado (entre todos los posibles En) en un instante determinado. Lo cual implica que para una partícula determinada n asume un valor concreto.

P.e. una partícula en su estado fundamental (n=1) tendrá una función de onda $\psi_1 (x,t)$ con una energía $E_1 = \frac {h^2}{8 \ m \ L^2}$, y para esta partícula resulta que $\psi_2 (x,t) = \psi_3 (x,t) = ..... = \psi_n (x,t) = 0$.

Por lo cual la siguiente expresión no es valida para una partícula en una caja:



Pero si seria valida para un sistema de n partículas en una caja pero con energías diferentes, y que no interactuan entre ellas ??????



La función de onda de un partícula en una caja es una onda estacionaria y no una onda viajera, lo cual no implica que la partícula no se este moviendo y que no tenga momento lineal.

Por lo que puedo interpretar creo entender que vos queres identificar la función de onda con la partícula material y su movimiento, y esto no es correcto.

Todo esto dicho desde mi escaso conocimiento, y mi pobre memoria.

s.e.u.o.

Suerte

Hola, ahora que puedo lo volveré a mirar lo del paquete de ondas más detenidamente. Sobre lo que estás describiendo (según lo poco que sé), estás describiendo partículas con energías bien definidas (o también llamado clásicamente, ondas estacionarias), pero al estar bien definidas las energías y en cierta medida el momento, las partículas no lo están en estos estados (bueno parcialmente, es deducible que en los nodos no hay posibilidad alguna de encontrar la partícula).
Generalmente una partícula se describe mediante una superposición de estos estados estacionarios, que es lo que estoy escribiendo, para poder calcular los coeficientes.

Sobre lo último, como he dicho una partícula se escribe mediante una superposición de estados, suponiendo que en un instante "localizas" la partícula dentro de una región determinada, estás imponiendo que la función de onda sea una campana de gauss, (o una delta de Dirac que estoy usando yo por la facilidad de los cálculos). He probado a hacer esto, y se puede ver que si dejásemos una partícula prácticamente sin masa, se dislocaría rápidamente la función de onda, en cambio para una partícula de hasta 1 mg, habría que esperar un montón de años a que la densidad de probabilidad se empezase a distribuir. Quería probarlo ahora con un paquete con un "momento" inicial o "grupal" de la delta.

[Julián]

Re: Paquete de ondas viajero

Generalmente una partícula se describe mediante una superposición de estos estados estacionarios, que es lo que estoy escribiendo, para poder calcular los coeficientes.

Si la misma está confinada en un pozo de potencial si es estacionaria la onda.

Ten encuenta que una masa de 1 mg es una cantidad enorme para una masa de una partícula subatómica, por lo que no es nada descabellado. Sería un grano de arena, quizás mas de 1 grano de arena.

Algo bueno para probar es calcular la función de onda de x partícula o conjunto de partículas y luego calcular la transformada de fourrier para obtener los estádos de esta. La densidad espectral espacial (o de frecuencia para el caso de ondas viajeras) darían el porque de los nodos, donde se realiza la interferencia destructiva. Además de obtener los estados más predominantes.

Sobre lo último, como he dicho una partícula se escribe mediante una superposición de estados, suponiendo que en un instante "localizas" la partícula dentro de una región determinada, estás imponiendo que la función de onda sea una campana de gauss

Al medir no estás imponiendo que la función de onda sea una campana de gauss sino que el acto de medir, colapsa de la función de onda y por supuesto cambia momento posterior la función de onda ya que medir implica obtener energía (o momento) . Aunque es controvertido el concepto de colapso de función de onda, lo que si es seguro que el acto de medir cambia la función de onda por lo que te comenté.