2o ciclo Potencial de Pozo con pared y delta. RETO.

[andusco]

Hola amigos,

Soy estudiante de ingeniería industrial, y tengo que resolver un problema de física cuántica. Tal vez para ustedes, los físicos sea algo muy sencillo, pero yo no he sido capaz de resolverlo, pues no es el área de especialización de mi carrera.

Por ello, agradecería enormemente si alguien lo pudiese resolver, o al menos ayudarme a hacerlo. La fecha de entrega es este jueves, mientras tanto estaré trabajando incansablemente para sacarlo.

Dice así:

Una partícula de masa m está sometida a un potencial V(x) = U(x) + W, con
U(x) =

• 0 para x<-a-d/2
• -Vo (V sub cero) para -a-d/2 < x < -d/2
• 0 para -d/2 < x < d/2
• -Vo para d/2 < x < a+d/2
• 0 para x> a+d/2

done $Vo >= 0$ y $W=h^2/(12mad)$. Se trata de hallar la energía E de los estados ligados en función de d, separación entre pozos, mediante la resolución de los siguientes apartados:

1. Hallar la solución de la ecuación de Schrödinger para estados ligados en cada región donde V es continuo.

2. Imponer las condiciones de contorno y de simetría $\psi(r) = s\psi(-r)$ (paridad definida por s=+-1) de las funciones propias de H

3. Llamando $\beta=(e^{kd} + s) / (e^{kd} - s)$ hallar la ecuación que verifica la energía E.

4. Comprobar el caso $d=\infty$ y d=0 con los estudiados en la teoría.

5. Comprobar el caso $V_0 = \infty$ con los de una caja.

6. Resolver con un programa (Matlab, lenguaje C, etc. o gráficamente) la ecuación que verifican los valores propios E del estado fundamental, para varios valores en el intervalo 0,01< d/a < 10, con \mu =2,0

7. Hallar la separación $d_0$ (d sub cero) entre pozos que da lugar al mínimo de la energía E.

8. Explicar que significa $E(d_0) < E(\infty)$

Se aconseja utilizar los siguientes símbolos: $\alpha^2 = \sqrt{2m/h^2 *(E + Vo)}, k^2 = \sqrt{-2m/h^2 * E}, \mu^2 = 2m/h^2 * Vo*a^2, \xi = \alpha *a, \eta = k * a$, junto con los anteriores mencionados \beta y \mu.

*Nota: Para los seis primeros apartados puede ser útil utilizar como valor propio E-W en lugar de E.

Supongo que el ejercicio será más sencillo para ustedes de lo que es para mi, aún así entiendo que es algo complicado. Agradeceré eternamente a aquella persona/as que me puedan ayudar.

Un cordial saludo y gracias de antemano!

Pd. Disculpad si las fórmulas no se ven adecuadamente. Lo he escrito como si fuese LATEX por que veo que debajo recomienda códigos de LATEX, pero es la primera vez que posteo y no se si será válido. (La h es la constante de Planck reducida)

[alexpglez]

Re: Potencial de Pozo con pared y delta. RETO.

Guau, vaya ejercicio, no soy experto en mecánica cuántica, pero me gustaría echarle un vistazo si puedo. Por cierto, para LATEX, se escribe ["TEX=null] equation [/TEX"] (las comillas las escribo para que se visualicen las etiquetas TEX, pero no hay que ponerlas) y entre medias de los TEX la ecuación, el =null simplemente es para que se vea mejor. Edito si quieres tu mensaje para que se vea mejor.

Una partícula de masa m está sometida a un potencial $V(x) = U(x) + W$ con

$$U(x) = 0 \;\; x<-a-d/2 \;\;\;\; -V_o \;\; -a-d/2 < x < -d/2 \;\;\;\; 0 \;\; -d/2 < x < d/2$$

$$=-V_o \;\; d/2 < x < a+d/2 \;\;\;\; 0 \;\; x> a+d/2$$

done $V_o >= 0$ y $W=h^2/(12mad)$. Se trata de hallar la energía $E$ de los estados ligados en función de $d$, separación entre pozos, mediante la resolución de los siguientes apartados:

1. Hallar la solución de la ecuación de Schrödinger para estados ligados en cada región donde $V$ es continuo.

2. Imponer las condiciones de contorno y de simetría $\psi(r) = s\psi(-r)$ (paridad definida por $s=\pm 1$) de las funciones propias de $H$

3. Llamando $\beta=(e^{kd} + s) / (e^{kd} - s)$ hallar la ecuación que verifica la energía $E$.

4. Comprobar el caso $d=\infty$ y $d=0$ con los estudiados en la teoría.

5. Comprobar el caso $V_o = \infty$ con los de una caja.

6. Resolver con un programa (Matlab, lenguaje C, etc. o gráficamente) la ecuación que verifican los valores propios E del estado fundamental, para varios valores en el intervalo $0,01< d/a < 10$, con $\mu =2,0$

7. Hallar la separación do (d sub cero) entre pozos que da lugar al mínimo de la energía E.

8. Explicar que significa $E(d_o) < E(\infty)$

Se aconseja utilizar los siguientes símbolos: $\alpha^2 = \sqrt{2m/h^2 (E + V_o)}$ $k^2 = \sqrt{-2m/h^2 E} \;\;\;\; \mu^2 = 2m/\hbar^2 V_o a^2 \;\;\;\; \xi = \alpha a \;\;\;\; \eta = k a$ junto con los anteriores mencionados $\beta$ y $\mu$.

*Nota: Para los seis primeros apartados puede ser útil utilizar como valor propio $E-W$ en lugar de $E$.

[andusco]

Re: Potencial de Pozo con pared y delta. RETO.

Gracias por contestar. Lo he editado yo también para que sea más fácil entenderlo

[alexpglez]

Re: Potencial de Pozo con pared y delta. RETO.

Hola, para mañana es?, no me ha podido dar mucho tiempo mirarlo, para sacar las ecuaciones hay que resolver la ecuación de Schrödinger en cada tramo y después, sabiendo que la función de onda es continua, igualar para los puntos -a+d/2, -d/2, etc. la función de onda y su derivada con respecto a la posición.
La ecuación de Schrödinger, da como solución en cada tramo:

$$\varphi= Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$

(A tiene el significado de partículas procedentes de la izquierda, y B para las partículas que se mueven de derecha a izquierda.)
Donde A, B son constantes en principio arbitrarias, pero que al resolver las condiciones de continuidad realmente se determinan todas las constantes, menos 2, una indicando las partículas que llegan de la derecha y otra de las que llegan por la izquierda.
k puede valer, (considerando el potencial constante en todos sus tramos, lo pregunto porque no entiendo W=h^2/(12mad), qué es 12*m*a*d?).

$$k=\frac{\sqrt{2m(E-V)}}{\hbar}$$

$$k_1=\frac{\sqrt{2m(E-W)}}{\hbar} \;\;\; x<-a-d/2 \;\;\; -d/2<x<d/2 \;\;\; x>a+d/2$$

$$k_2=\frac{\sqrt{2m(E-W+V_0)}}{\hbar} \;\;\; -a-d/2<x<-d/2 \;\;\; d/2<x<a+d/2$$

Lo demás que te piden, creo que habría que resolver antes la función de onda. Lo de la condición de simetría no sé que és, pero creo que sé que significa por la expresión que pusiste. Siento no poderte ayudar a tiempo. Salen ecuaciones bastante largas para los coeficientes...