2o ciclo Solución a la ecuación de Schrodinger

[rafis84]

Hola chicos,
he comenzado a estudiar mecánica cuántica y tengo una duda (porque no he comprendido bien el tema) que espero puedan comentar.
La solución a la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo es una función compleja de la forma $\psi(x,t)$
¿Qué pasa con está función a t=0? ¿ $\psi(x,0)$Debe satisfacer la ecuación de Schrodinger?

[alexpglez]

Re: Solución a la ecuación de Schrodinger

Hola chicos,
he comenzado a estudiar mecánica cuántica y tengo una duda (porque no he comprendido bien el tema) que espero puedan comentar.
La solución a la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo es una función compleja de la forma $\psi(x,t)$
¿Qué pasa con está función a t=0? ¿ $\psi(x,0)$Debe satisfacer la ecuación de Schrodinger?

Claro, t puede tomar cualquier valor (incluido el 0), como en cualquier otra función. Aunque, no acabo de entender la duda.. preguntas si existe la ecuación de onda independientemente del tiempo¿? Podrías detallar mejor tu duda para que podamos ayudar¿?

[rafis84]

Re: Solución a la ecuación de Schrodinger

Hola gracias por responder
Mi duda es.. si tengo una solución general a la ecuación de schrodinger (no necesariamente una eigenfunción) $\Psi(x,t)$, ai sustituir $\Psi (x,0)$ en la ecuación de Schrodinger:
$ih\frac{\partial \Psi}{\partial t}=H\Psi$
¿Se debe satisfacer? (aunque la derivada temporal sea cero automáticamente, porque $\Psi (x,0)$ no depende de t?

Muchas gracias por sus comentarios

[saturno]

Re: Solución a la ecuación de Schrodinger

Hola gracias por responder
Mi duda es.. si tengo una solución general a la ecuación de schrodinger (no necesariamente una eigenfunción) $\Psi(x,t)$, ai sustituir $\Psi (x,0)$ en la ecuación de Schrodinger:
$ih\frac{\partial \Psi}{\partial t}=H\Psi$
¿Se debe satisfacer? (aunque la derivada temporal sea cero automáticamente, porque $\Psi (x,0)$ no depende de t?

Muchas gracias por sus comentarios

Tu estas sustituyendo una función ya evaluada en la ecuación de Schrödinger y eso no es correcto.

Lo que debes hacer es sustituir tu función inicial y despues sustituir tu tiempo deseado.

Si usas directamente $\Psi(x,0)$ obtendrás siempre 0 en la izquierda de la ecuación y no extraerás nada de valor.

Para aclarar las cosas, si lo que quieres es utilizar la función de onda en t=0, utiliza la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.


Por cierto, ¿eres estudiante de la UB?

[alexpglez]

Re: Solución a la ecuación de Schrodinger

En general, una función nunca la puedes evaluar antes de resolver la ecuación diferencial, porque precisamente estás pidiendo en la ecuación que las variables sean variables, no simples constantes, (ya que cualquier derivada de algo constante da 0 y no tendría sentido la ecuación diferencial).
Como dijimos, si no quieres tener información temporal de la función de onda, puedes escribir el autovalor E (energía) en vez de su operador Ê=ihd/dt (escribo desde el móvil, intento simbolizar malamente la constante de planck y una derivada parcial con respecto al tiempo) en la ecuación: HΨ=ΕΨ
saludos.

[saturno]

Re: Solución a la ecuación de Schrodinger

Tu estas sustituyendo una función ya evaluada en la ecuación de Schrödinger y eso no es correcto.

Lo que debes hacer es sustituir tu función inicial y despues sustituir tu tiempo deseado.

Si usas directamente $\Psi(x,0)$ obtendrás siempre 0 en la izquierda de la ecuación y no extraerás nada de valor.

Para aclarar las cosas, si lo que quieres es utilizar la función de onda en t=0, utiliza la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.


Por cierto, ¿eres estudiante de la UB?

Bueno antes de que me pegue un tiro por semejante barbaridad que he dicho, intentaré remediarlo...

Olvida eso que he dicho de "Para aclarar las cosas..."

Resulta que la ecuación independiente del tiempo unicamente se puede tener en cuenta para el caso particular de un potencial del estilo $V\neq V(t)$, entonces el operador hamiltoniano también es independiente del tiempo y, entonces, se puede demostrar que la función de onda puede expresarse como $\Psi(\vec{r},t)=\Psi(\vec{r}) f(t)$, donde $f(t)$ es una función que solo depende del tiempo.

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de Schrödinger obtenemos, con un poco de cálculo, un sistema de dos ecuaciones:

$\left.<br /> \begin{array}{rcl}<br /> i \hbar \frac{\partial f(t)}{ \partial t} & = & E f(t) <br /> \\ \left[ -\frac{\hbar ^2}{ 2 m}\nabla^2 + V(\vec{r}) \right]\Psi(\vec{r}) & = & E \Psi(\vec{r})<br /> \end{array}<br /> \right\}$

La primera ecuación nos da la expresión de $f(t)$ directamente integrando: $f(t)=e^{-i \frac{E}{ \hbar} t}$ (sin perder generalidad se elige la constante de integración igual a 1)

La segunda ecuación es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que de forma compacta se escribe $H \Psi(\vec{r})=E \Psi(\vec{r})$ como bien ha dicho alexpglez.

Entonces si el Hamiltoniano de tu sistema no depende del tiempo, podrás utilizar la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, teniendo en cuenta que la función de onda se podrá expresar como el producto de la función exponencial antes citada y una función que depende únicamente de $\vec{r}$.

En general, si no especifican si tu Hamiltoniano depende del tiempo o no, no tienes potestad para utilizar la ecuación independiente del tiempo y estarás "condenado" a utilizar la ecuación general, siempre respetando que la sustitución por valores numéricos de tus variables se haga una vez acabada la operación en dicha ecuación.

Asi que si te preguntas por si $\Psi(x,0)$ debe ser solución de la ecuación de Schrödinger, evalua la solución general $\forall x,t$ y después sustituye las variables por los valores deseados.

[rafis84]

Re: Solución a la ecuación de Schrodinger

Muchas gracias por responder!
Me ha quedado mucho más claro!