Otras carreras ¿Descripción probabilística de la mecánica newtoniana?

[alexpglez]

Basado en la matemática probabilística de la mecánica cuántica, se puede hacer una mecánica probilística Newtoniana. Me refiero por poner un ejemplo, conozco la función densidad de probabilidad de una partícula en un instante determinado, ¿cómo hago para determinar como varía la función densidad de probabilidad con el tiempo?
Es decir, cual sería la ecuación que debería cumplir la función amplitud de probabilidad¿?
Sé que no es práctico, ni mucho menos, pero me interesaba teóricamente, me refiero básicamente a definir, igual que en mecánica cuántica:

$$\int \phi(x,t)^* \hat A \phi(x,t)=<A>$$

La condición de que sea clásica supongo que establece la condición de:

$$\hat x \hat p - \hat p \hat x=0$$

[angel relativamente]

Re: ¿Descripción probabilística de la mecánica newtoniana?

No entiendo, ¿qué sentido tiene hablar de densidad de probabilidad de una partícula no cuántica? La probabilidad de encontrar una partícula en un punto es 1 o 0 en la mecánica clásica, no admite valores intermedios.

[Julián]

Re: ¿Descripción probabilística de la mecánica newtoniana?

Es posible desarrollar una densidad de probabilidad de un cuerpo con una velocidad $\vec{v}$ en un volumen en función de otra función temporal, espacial, etc. Sea por ejemplo la probabilidad de que un automovil parta del origen y llegue a $\vec{r}$ en tanto intervalo temporal propio. Pero esto no es característico del cuerpo debido a que es posible conocer su posición y momento exactos en cualquier intervalo y hacer dicho análisis determinístico. Pero sin lugar a dudas se realiza procesos probabilísticos, sea por ejemplo la probabilidad de encontrar un error en la transmisión de un impulso de tensión que codifica un valor digital, existe una densidad de probabilidad de error debido a factores externos como el ruido que afecte el valor del campo eléctrico pero el fenómeno es clásico en cuanto a la frecuencia de la señal y poder conmutar el intervalo temporal y la energía. Es así, si la frencuencia de la señal fuera cercana al infrarrojo donde se empiezan a deslucir los efectos cuánticos, la señal sería una superposición de fotones en donde no conmutarian los intervalos temporales y la energía de estos en una medición por ende es algo característico de la señal y no de agentes externos.

La característica cuántica son la conmutación de los operadores que en la clásica no debe tenerse en cuenta.

[alexpglez]

Re: ¿Descripción probabilística de la mecánica newtoniana?

No entiendo, ¿qué sentido tiene hablar de densidad de probabilidad de una partícula no cuántica? La probabilidad de encontrar una partícula en un punto es 1 o 0 en la mecánica clásica, no admite valores intermedios.

Pues mi interés es porque, en lo que yo entiendo, toda la forma matemática de la mecánica cuántica está correcta para la descripción de la mecánica clásica, excepto el postulado de que la función amplitud de probabilidad sea una onda y cumpla las relaciones de Planck y De Broglie.

El otro interés práctico que tiene es ese, y considerar que, a una partícula, no sabes dónde está instantáneamente, ni sabes su momento, pero si que tienes buenas mediciones de los dos, o sea tienes la densidad de probilidad en un instante o lo que es lo mismo, la amplitud de probabilidad. Ahora quieres ver como varía cada valor medio, cada magnitud de cada posible estado, y la función densidad de probabilidad.

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La característica cuántica son la conmutación de los operadores que en la clásica no debe tenerse en cuenta.

Ya, eso he escrito también, pero no sé como acabar de dar la ecuación diferencial que rige la densidad de probabilidad. Eso pregunto.

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Para una determinación completa de estar la partícula en $x_i$, tenemos $\phi ^* \phi =p=\delta (x-x_i)$, ya que cumple: $<x>=\int_{-\infty}^{\infty} px dx=x_i$

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Razonando un poco en este sentido, puedo hacer el caso general discreto, la probabilidad:

$$p(x,t)=\sum_i p_i \delta (x-x_i(t))$$

Donde x_i viene determinado newtonianamente: $m\ddot x_i=F_i$

[Julián]

Re: ¿Descripción probabilística de la mecánica newtoniana?

Pues mi interés es porque, en lo que yo entiendo, toda la forma matemática de la mecánica cuántica está correcta para la descripción de la mecánica clásica, excepto el postulado de que la función amplitud de probabilidad sea una onda y cumpla las relaciones de Planck y De Broglie.

El otro interés práctico que tiene es ese, y considerar que, a una partícula, no sabes dónde está instantáneamente, ni sabes su momento, pero si que tienes buenas mediciones de los dos, o sea tienes la densidad de probilidad en un instante o lo que es lo mismo, la amplitud de probabilidad. Ahora quieres ver como varía cada valor medio, cada magnitud de cada posible estado, y la función densidad de probabilidad.

Acá me parece que estás confundiendo las cosas. La partícula es caracterizada por:
$\psi (\vec{r} ,t )$ en la mecánica ondulatoria.

De esta manera si quieres conocer el valor esperado del momento

$\dst <P>={\int }_{V} \psi *(\vec{r},t) i \frac{h }{2 \pi} \frac{\partial }{\partial \vec{r}} \psi (\vec{r},t) dV$

Como el operado momento es lineal, actuando sobre $\psi (\vec{r},t)$ la cual tiene la forma $\left\vert{} \psi (\vec{r},t) \right\vert{} {e}^{i( \hat{k} \vec{r} - \omega t)}$ por ende el operador es una autofunción y ${e}^{i( \hat{k} \vec{r} - \omega t)}$ un autovector. Y al ser lineal $\left\vert{} \psi (\vec{r},t) \right\vert{} {e}^{i( \hat{k} \vec{r} - \omega t)}$ puede ser escrita como una sumatoria de "armónicos" ${c}_{n} \left\vert{} \psi (\vec{r},t) \right\vert{} {e}^{i( {\hat{k}}_{n} \vec{r} - {\omega}_{n} t)}$

Ahora si mides el momento, la medición será precisa el valor obtenido en la medición y será un valor de los armónicos $\dst {c}_{n} \left\vert{} psi (\vec{r},t) \right\vert{} {e}^{i( {\hat{k}}_{n} \vec{r} - {\omega}_{n} t)}$

Ahora si quieres conocer el momento y luego la posición:


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Que no es lo mismo que aplicar el operador posición y luego el momento:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Porque no conmutan y esto no pasa en la mecánica clásica. Voy a escribir un blog sobre análisis de señales en sistemas LTI en donde se utilizan las mismas herramientas matemáticas en los sistemas de comunicaciones con la diferencia de no tener la condición de la conmutación de operadores.

[arivasm]

Re: ¿Descripción probabilística de la mecánica newtoniana?

Quizá Alex está interesado en el paso al límite de la mecánica cuántica a la clásica. Si es así puede leer al respecto por ejemplo aquí: http://www.ugr.es/~bosca/WebFCenRed/...ivos/c9-s2.pdf

[carroza]

Re: ¿Descripción probabilística de la mecánica newtoniana?

Basado en la matemática probabilística de la mecánica cuántica, se puede hacer una mecánica probilística Newtoniana. Me refiero por poner un ejemplo, conozco la función densidad de probabilidad de una partícula en un instante determinado, ¿cómo hago para determinar como varía la función densidad de probabilidad con el tiempo?
Es decir, cual sería la ecuación que debería cumplir la función amplitud de probabilidad¿?

Hola.

Si te interesa cómo varía con el tiempo clásicamente una distribución de probabilidad de tener una partícula con una posicón q y un momento p dados, $f(q,p,t)$, lo que te interesa es el corchete de Poisson:

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket

Lo más llamativo de este formalismo es que, de la misma forma que la variación en el tiempo de un operador en cuántica viene dado en la representación de heisenberg https://en.wikipedia.org/wiki/Heisenberg_picture por

${d \over dt} A(t) = {i \over \hbar} [H,A(t)] + {\partial \over \partial t} A(t)$,

en mecánica clásica, la variación de una distribución de probabilidad con el tiempo viene dada por

${d \over dt} f(q,p,t) = - \{H,f(q,p,t) \} + {\partial \over \partial t} f(q,p,t)$,

O sea, que el corchetre de Poisson es lo más parecido en mecánica clásica, al conmutador en mecánica cuántica. Por otro lado, tanto en clásica como en cuántica, el objeto que gobierna la evolución temporal es el hamiltoniano.

Saludos