1r ciclo Valores medios de partículas en pozo de potencial

[Alriga]

Dos partículas iguales se hallan en un pozo de potencial

$V(x)=\dfrac 1 2 \ k \ x^2$

Se considera que no hay interacción entre ambas partículas. Hallar:

1. Los valores medios $\langle x_1 \rangle, \ \langle x_2 \rangle, \ \langle x_1 x_2 \rangle ,$ si ambas partículas son bosónicas.
2. Los valores medios $\langle x_1 \rangle, \ \langle x_2 \rangle, \ \langle x_1 x_2 \rangle ,$ si ambas partículas son fermiónicas.

Gracias y saludos.

[sater]

Buenas Alriga.
Dado que no interactúan, la solución será el producto de soluciones de un oscilador armónico $\Psi_{n,m}(x_1,x_2)=\Psi_n(x_1)\Psi_m(x_2)$, con n,m el nivel en que estaría cada partícula.
Para tener en cuenta que sean bosones o fermiones debes simetrizar o antisimetrizar la función de onda. Por último, para calcular los valores medios te tienen que decir en qué estado calcularlos, sino el resultado quedará en función de n,m.
Un saludo.

[Alriga]

Gracias sater, y todo esto:

Dado que no interactúan, la solución será el producto de soluciones de un oscilador armónico $\Psi_{n,m}(x_1,x_2)=\Psi_n(x_1)\Psi_m(x_2)$, con n,m el nivel en que estaría cada partícula.
Para tener en cuenta que sean bosones o fermiones debes simetrizar o antisimetrizar la función de onda. Por último, para calcular los valores medios te tienen que decir en qué estado calcularlos, sino el resultado quedará en función de n,m

¿cómo se hace? Yo de cuántica sé casi nada, pero me han dicho que este ejercicio (en el que no hay ningún dato adicional) se puede calificar como “fácil” para un estudiante de grado de Física.

Saludos.

[sater]

Pues las autofunciones para el oscilador armónico las tienes por aquí. Simetrizar la función de onda consiste en hacerla simétrica o antisimétrica al intercambio de las coordenadas de cada partícula (según sea un bosón o un fermión). Por tanto, quedaría:

$$<br /> \Psi_{n,m}(x_1,x_2)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\Psi_n(x_1)\Psi_m(x_2) \pm\Psi_n(x_2)\Psi_m(x_1)\right)<br />$$

Donde cada $\Psi_n$ está normalizada por construcción.

Por último, calcular el valor medio del operador posición $\hat x_1$ por ejemplo en el estado $\Psi_{n,m}$ consiste en calcular:

$$<br /> \langle \hat x_1\rangle =\langle \Psi_{n,m}|\hat x_1|\Psi_{n,m}\rangle =\int dx_1 dx_2 \Psi^{*}_{n,m}(x_1,x_2)x_1 \Psi_{n,m}(x_1,x_2)<br />$$

Para proceder, necesitas que te digan en qué estado calcular el valor medio.

Un saludo.

[Alriga]

Gracias. Del enlace que me has dado deduzco que para el estado n=0 el Polinomio de Hermite es 1 y por lo tanto:

$\Psi_0(x)=\dfrac 1{\sqrt 2}\left (\dfrac{m\omega}{\pi \hbar}\right )^{1/4} \ e^{-\dfrac{m\omega x^2}{2\hbar}}$

¿Ahora que hay que hacer?

¿¿ $\Psi_0(x_1)=\dfrac 1{\sqrt 2}\left (\dfrac{m\omega}{\pi \hbar}\right )^{1/4} \ \ee^{-\dfrac{m\omega x_1^2}{2\hbar}}$ ??

¿¿ $\Psi_0(x_2)=\dfrac 1{\sqrt 2}\left (\dfrac{m\omega}{\pi \hbar}\right )^{1/4} \ \ee^{-\dfrac{m\omega x_2^2}{2\hbar}}$ ??

Por otro, hay algo que no se ver, la expresión que has puesto en el post#2:

$\Psi_{n,m}(x_1,x_2)=\Psi_n(x_1)\Psi_m(x_2)$

Entiendo que difiere de la que has puesto en el post#4:

$\Psi_{n,m}(x_1,x_2)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\Psi_n(x_1)\Psi_m(x_2) \pm\Psi_n(x_2)\Psi_m(x_1)\right)$

Empiezo a creer que me han tomado el pelo y que este ejercicio no es "fácil" como me habían dicho.

Gracias y saludos.

[sater]

La primera expresión (del post 2) es la solución para cuando dos partículas son no interactuantes y distinguibles. Pero si son indistinguibles, la función de onda se debe simetrizar si son bosones y antisimetrizar si son fermiones (el más y el menos en la expresión del post 4). Si quieres calcular ahora la integral, tienes que saber en qué estado está el sistema para calcular el valor medio. ¿El enunciado no lo explicita?

[Alriga]

Indistinguibles. Estado n=0
Saludos.

[sater]

Tendrás que hacer pues la integral 2 del post 4 con la función de onda simetrizada (ec 1) y usando n=m=0, Para fermiones esa función es nula pues no pueden estar en el mismo estado.
Si no te aclaras cuando tengas más tiempo intento hacerlo y transcribirlo.
Un saludo.

[carroza]

Hola.

Este ejercicio no está bien planteado. No nos dicen qué estados estamos considerando.
Podría suponerse, pero no es trivial hacerlo así, que estemos hablando de un autoestado del oscilador armónico, dado por números cuánticos $n,m$, como indica Sater. En ese caso, el autovalor de la energía considerado sería $\hbar \omega (n + m +1)$.

Ahora, si hablamos de fermiones, tendríamos que considerar el espín, cosa que tampoco nos dicen. Obviando esto, diríamos que las combinaciones simétricas de las funciones de onda de $n$ y $m$ serían aplicables para bosones, y las antisimétricas para fermiones. Esto excluye $n=m$ para fermiones.

La evaluación de los elementos de matriz de $x$ entre funciones de oscilador armónico es analítica. Sólo se conectan estados en los que el numero de cuantos $n$ difiere en una unidad. Si me dejas usar kets y bras, sale
$<n|x|n'> = a_0 (\sqrt{n} \delta_{n,n'+1} + \sqrt{n+1} \delta_{n,n'-1} )$
donde $a_0$ es una longitud característica del oscilador.

Por tanto, si quiero evaluar los elementos de matriz de $x_1, x_2, x_1 \cdot x_2$, en una base de estados $| n_1, n_2>$, solamente me salen elementos de matriz no nulos cuando $n_1 = n_2 \pm 1$. Si lo desarrollas, verás que todos los elementos de matriz de $x_1$ y $x_2$ son nulos, y solo son no nulos los de $x_1 \cdot x_2$, que tienen signos opuestos segun tengamos funciones de onda simétricas o antisimétricas.

Un saludo