1r ciclo Hamiltoniano de sistema cuántico de 2 niveles

[Alriga]

El Hamiltoniano de un sistema cuántico de 2 niveles viene dado por la matriz

$H=\left(<br /> \begin{matrix}<br /> \varepsilon_1 & \Omega \\<br /> \Omega & \varepsilon_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)$

1. Demostrar que la matriz es Hermítica.
2. Calcular los niveles energéticos del sistema.
3. Calcular la base en la cual la matriz H es diagonal, y la expresión de la misma en esa base.

Gracias y saludos.

[sater]

1. Una matriz es hermitica si es igual a su conjugada traspuesta. Dado que los elementos de esta son reales (imagino), es hermitica dado que es simétrica y al transponer se queda igual. Por lo tanto es un buen hamiltoniano ( tendrá autovalores reales).
2. Debes encontrar los autovalores.
3. Debes encontrar los autovectores y realizar un cambio de base.

[Alriga]

A ver si lo he entendido:

1. La matriz será hermítica si y solo si $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \Omega$ son reales.

2. La ecuación característica para hallar los autovalores es:

det$(H-xI)=0$

$(\varepsilon_1-x)(\varepsilon_2-x)-\Omega^2=0$

Entonces, los niveles energéticos del sistema serán:

$x_1=\dfrac 1 2 \Big (\varepsilon_1+\varepsilon_2+\sqrt{\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2-2\varepsilon_1\varepsilon_2+4\Omega^2}\Big )$

$x_2=\dfrac 1 2 \Big (\varepsilon_1+\varepsilon_2-\sqrt{\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2-2\varepsilon_1\varepsilon_2+4\Omega^2}\Big )$

3. La base formada por los vectores propios $\vec u , \ \vec v$ se obtiene resolviendo los sistemas de ecuaciones:

$\left(<br /> \begin{matrix}<br /> \varepsilon_1-x_1 & \Omega \\<br /> \Omega & \varepsilon_2-x_1<br /> \end{matrix}<br /> \right)<br /> \left(<br /> \begin{matrix}<br /> u_1 \\<br /> u_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)=0$

$\left(<br /> \begin{matrix}<br /> \varepsilon_1-x_2 & \Omega \\<br /> \Omega & \varepsilon_2-x_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)<br /> \left(<br /> \begin{matrix}<br /> v_1 \\<br /> v_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)=0$

Si sustituyo aquí los valores propios sale un buen carro, no me atrevo a continuar. Y aun quedaría calcular la expresión de H en la nueva base.

En fin, tal vez sea un ejercicio "fácil" para un estudiante de grado de Física a nivel conceptual, pero desde luego no es corto en cuanto al desarrollo matemático.

Gracias y saludos.

[sater]

No es nada trivial, se puede hacer por fuerza bruta pero suelen tener algo de idea feliz (tipo renombrar variables o involucrar matrices de Pauli). Si solo estás interesado en ver la dinámica de estos problemas, pon números y prueba (será un simple ejercicio de álgebra). Si te interesa ahondar en la teoría, deberías buscar información sobre "Two states quantum systems". En la wikipedia por ejemplo tratan el caso general

[Alriga]

La base formada por los vectores propios $\vec u , \ \vec v$ se obtiene resolviendo los sistemas de ecuaciones:

$\left(<br /> \begin{matrix}<br /> \varepsilon_1-x_1 & \Omega \\<br /> \Omega & \varepsilon_2-x_1<br /> \end{matrix}<br /> \right)<br /> \left(<br /> \begin{matrix}<br /> u_1 \\<br /> u_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)=0$

$\left(<br /> \begin{matrix}<br /> \varepsilon_1-x_2 & \Omega \\<br /> \Omega & \varepsilon_2-x_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)<br /> \left(<br /> \begin{matrix}<br /> v_1 \\<br /> v_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)=0$

Supongamos que ya he resuelto los 2 sistemas de ecuaciones y ya tengo los vectores $\vec u, \ \vec v$. Si no recuerdo mal de mi álgebra lineal estudiada hace 40 años, la matriz:

$P=\left(<br /> \begin{matrix}<br /> u_1 & v_1 \\<br /> u_2 & v_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)$

Es la matriz "de paso", y se cumple (creo)

$P^{-1} H P=D$

En donde D es la matriz cuya diagonal está formada por valores propios:

$D=\left(<br /> \begin{matrix}<br /> x_1 & 0 \\<br /> 0 & x_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)=<br /> \left(<br /> \begin{matrix}<br /> \dfrac 1 2 \Big (\varepsilon_1+\varepsilon_2+\sqrt{\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2-2\varepsilon_1\varepsilon_2+4\Omega^2}\Big ) & 0 \\<br /> 0 & \dfrac 1 2 \Big (\varepsilon_1+\varepsilon_2-\sqrt{\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2-2\varepsilon_1\varepsilon_2+4\Omega^2}\Big )<br /> \end{matrix}<br /> \right)$

Por lo tanto ¿la respuesta a "...la expresión de la misma [H] en esa base", sería "la matriz D"? ¿Es correcto?

Gracias y saludos.

[carroza]

Hola.

Estas cosas de matrices dos por dos son muy fáciles de resolver (una vez que te lo dicen, claro).

Lo primero es restar una matriz proporcional a la unidad a tu hamiltoniano, para quedarte con una matriz sin traza. En tu caso, restas $\left(<br /> \begin{matrix}<br /> (\varepsilon_1+\varepsilon_2)/2 & 0 \\<br /> 0 & (\varepsilon_1+\varepsilon_2)/2<br /> \end{matrix}<br /> \right)$ y te queda la matriz$\left( \begin{matrix}<br /> (\varepsilon_1-\varepsilon_2)/2 & \Omega \\<br /> \Omega & (- \varepsilon_1+\varepsilon_2)/2<br /> \end{matrix} \right)$, que tiene los mismos autoestados que la original, pero unos autovalores que difieren en $(\varepsilon_1+\varepsilon_2)/2$.

Ahora, esta matriz la puedes expresar como $\sqrt{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2/4 + \Omega^2}$ $\left( \begin{matrix}<br /> \cos \theta & \sin \theta \\<br /> \sin \theta & -\cos \theta<br /> \end{matrix} \right)$, donde $\theta = \arctan{ 2 \Omega / (\varepsilon_1-\varepsilon_2)}$

Y ahora, un poquito de trigonometría te basta para ver que los autoestados de $\left( \begin{matrix}<br /> \cos \theta & \sin \theta \\<br /> \sin \theta & -\cos \theta<br /> \end{matrix} \right)$ son $\left( \begin{matrix}<br /> \cos (\theta/2) \\ \sin (\theta/2)<br /> \end{matrix} \right)$ y $\left( \begin{matrix}<br /> -\sin (\theta/2) \\ \cos (\theta/2)<br /> \end{matrix} \right)$, correspondiendo a los autovalores 1 y -1, respectivamente.

De esta forma, $\left( \begin{matrix}<br /> \cos (\theta/2) \\ \sin (\theta/2)<br /> \end{matrix} \right)$ y $\left( \begin{matrix}<br /> -\sin (\theta/2) \\ \cos (\theta/2)<br /> \end{matrix} \right)$,

son los autoestados de tu hamiltoniano, que corresponden a los autovalores $(\varepsilon_1+\varepsilon_2)/2 \pm \sqrt{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2/4 + \Omega^2}$.

[Alriga]

Gracias carroza, sin duda debe ser un procedimiento muy útil para muchos casos. Sin embargo en este caso particular, resolver la ecuación de 2º grado

$(\varepsilon_1-x)(\varepsilon_2-x)-\Omega^2=0$

me parece más simple. Y veo que lo he hecho bien, pues tu resultado:

$(\varepsilon_1+\varepsilon_2)/2 \pm \sqrt{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2/4 + \Omega^2}$

Coincide con el que yo he obtenido:

$\dfrac 1 2 \Big (\varepsilon_1+\varepsilon_2 \pm \sqrt{\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2-2\varepsilon_1\varepsilon_2+4\Omega^2}\Big )$

¿El resto de lo que digo en el post #5 es correcto?

Gracias y saludos.

[sater]

Es correcto. A nivel de encontrar los autovectores, sin el truco de Carroza se te va a hacer difícil. La matriz en la base que la diagonaliza obviamente es la que por diagonal tiene sus autovalores, así que es correcto.

[Alriga]

... Es correcto ... La matriz en la base que la diagonaliza obviamente es la que por diagonal tiene sus autovalores, así que es correcto ...

Gracias.

... A nivel de encontrar los autovectores, sin el truco de carroza se te va a hacer difícil ...

¿Y cómo se hallan con el "truco de carroza"?

Saludos.

[sater]

¿Y cómo se hallan con el "truco de carroza"?

Más o menos lo explica Carroza en su mensaje. Al introducir la variable $\theta$, la matriz resultante es más sencilla y calcular sus autovectores (por la vía general de un curso de álgebra) debería ser sencillo. El gran truco consiste en que los autovectores son los mismos, pero en la nueva matriz son más fáciles de calcular.

[carroza]

Más o menos lo explica Carroza en su mensaje.

Hola. Debo estar perdiendo habilidades pedagógicas, porque yo pensaba que lo había explicado claramente.

A ver, lo que Alriga llama $\left(\begin{matrix}u_1 \\u_2\end{matrix}\right)$ es lo que yo demuestro que toma la expresión $\left(\begin{matrix}\cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)\end{matrix}\right)$. Lo que Alriga llama $\left(\begin{matrix}v_1 \\v_2\end{matrix}\right)$ es lo que yo demuestro que toma la expresión $\left(\begin{matrix}-\sin(\theta/2) \\ \cos(\theta/2)\end{matrix}\right)$. Por tanto, la matriz P que da la transformación que diagonaliza el hamiltoniano es $\left(\begin{matrix}\cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2)\\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2)\end{matrix}\right)$.

Efectivamente, como Sater menciona, lo que estoy haciendo es desarrollar la matriz hermítica en una combinación de la matriz identidad y las matrices de Pauli. En este caso paticular, como la matriz es real, me basta considerar $\sigma_z$ y $\sigma_x$ . En general, cualquier matriz hermítica 2x2 puede ponerse como $a \boldmath{ I} + b {\hat n}\cdot \boldmath {\vec \sigma}$, donde $\hat n$ es un vector unitario. Los autovectores son los de ${\hat n}\cdot \boldmath {\vec \sigma}$, y los autovalores son $a \pm b$.

No obstante, entiendo que en este hilo el reto es que, sin incluir las cosas que conocemos los que hemos estudiado física, llevar a Alriga al resultado correcto por el camino más corto.

Para eso, la propiedad matemática que uno debe recordar es $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a) \sin(b)$ y $\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a) \sin(b)$. Si aquí hacemos $a=\theta, b=\theta/2$, tenemos $\cos(\theta/2) = \cos(\theta)\cos(\theta/2) + \sin(\theta) \sin(\theta/2)$ y $\sin(\theta/2) = \sin(\theta)\cos(\theta/2) - \cos(\theta) \sin(\theta/2)$, que son las propiedades que se usan para encontrar los autovalores de la matriz dada.

Un saludo. Agredecería vuestro feedback para ver qué queda claro y qué no.

[sater]

Llevas razón. El "más o menos" sobraba
Yo lo veo claro. A ver qué nos dice Alriga.

[Alriga]

Muchas gracias carroza, todo claro. Como amistoso comentario a la "pedagogía": por bien que uno lo haga (como ha sido el caso), siempre es mejorable. Cuando se está hablando de un tema con alguien de pocos conocimientos en él, usar una palabra distinta aunque sinónima a la que el lego está usando puede despistarlo, ya que aunque el sinónimo pueda parecer trivial al que domina el tema, la sinonimia puede ser no evidente para el lego. Si en el post #6 alguna de las 3 veces que se usa la palabra de la Física "autoestados", se hubiese usado la palabra del lenguaje del Álgebra Lineal "autovectores" o "vectores propios" que había usado antes el lego, probablemente el lego no se hubiese despistado.

El Hamiltoniano de un sistema cuántico de 2 niveles viene dado por la matriz

$H=\left(<br /> \begin{matrix}<br /> \varepsilon_1 & \Omega \\<br /> \Omega & \varepsilon_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)$

1. Demostrar que la matriz es Hermítica.
2. Calcular los niveles energéticos del sistema.
3. Calcular la base en la cual la matriz H es diagonal, y la expresión de la misma en esa base.

Resumiendo:

1. La matriz "H" del enunciado será hermítica si y solo si $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \Omega$ son reales.

2. Los niveles energéticos del sistema son:

$x_1=\dfrac 1 2 \Big (\varepsilon_1+\varepsilon_2+\sqrt{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2+4\Omega^2}\Big )$

$x_2=\dfrac 1 2 \Big (\varepsilon_1+\varepsilon_2-\sqrt{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2+4\Omega^2}\Big )$

3. Definiendo:

$\theta=\arctan \dfrac{2\Omega}{\varepsilon_1-\varepsilon_2}$

La base en la cual la matriz H es diagonal será la formada por los vectores $\vec u, \ \vec v$ :

$\vec u=\left(\begin{matrix}\cos \left (\dfrac{\theta}2\right ) \\ \sin \left (\dfrac{\theta}2 \right )\end{matrix}\right)$

$\vec v=\left(\begin{matrix}-\sin \left (\dfrac{\theta}2\right ) \\ \cos \left (\dfrac{\theta}2 \right )\end{matrix}\right)$

Finalmente, la expresión de la matriz H en esta última base es:

$D=\left(<br /> \begin{matrix}<br /> x_1 & 0 \\<br /> 0 & x_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)=<br /> \left(<br /> \begin{matrix}<br /> \dfrac 1 2 \Big (\varepsilon_1+\varepsilon_2+\sqrt{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2+4\Omega^2}\Big ) & 0 \\<br /> 0 & \dfrac 1 2 \Big (\varepsilon_1+\varepsilon_2-\sqrt{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2+4\Omega^2}\Big )<br /> \end{matrix}<br /> \right)$

Gracias y saludos.

PD:

1. Por lo de "no news, good news" deduzco que el ejercicio Electrón confinado en pozo de potencial he debido resolverlo bien, aunque se agradecería confirmación.

2. En cuanto al ejercicio Interpretaciones ontológica y epistemológica de la función de onda esperaré un poco a ver si alguien se anima a responder, antes de explicar el porqué de consultar aquí estos 5 ejercicios de cuántica.

[carroza]

Muchas gracias carroza, todo claro. Como amistoso comentario a la "pedagogía": por bien que uno lo haga (como ha sido el caso), siempre es mejorable. Cuando se está hablando de un tema con alguien de pocos conocimientos en él, usar una palabra distinta aunque sinónima a la que el lego está usando puede despistarlo, ya que aunque el sinónimo pueda parecer trivial al que domina el tema, la sinonimia puede ser no evidente para el lego. Si en el post #6 alguna de las 3 veces que se usa la palabra de la Física "autoestados", se hubiese usado la palabra del lenguaje del Álgebra Lineal "autovectores" o "vectores propios" que había usado antes el lego, probablemente el lego no se hubiese despistado.

Tomo nota, y gracias por la sugerencia. Hay una sutileza, ya que "autovectores" parece implicar que uno tiene explicitamente matrices, lo cual implica que uno siempre trabaja en una base determinada. En mecánica cuántica uno considera con frecuencia operadores, que tienen sus autoestados y sus autovalores, independientes de la base en que uno decida trabajar. pero efectivamente, en este caso no era necesario usar el término.

1. La matriz será hermítica si y solo si $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \Omega$ son reales.

Esto no es correcto. $\Omega$ puede ser complejo en el elemento (1,2), en una matriz hermítica, en cuyo caso debe aparecer $\Omega^*$ en el elemento (2,1).
Los autovalores en este caso dependen de $|\Omega|^2 =\Omega \Omega^*$. La expresión de los autovectores (ves como he aprendido) adquieren una fase, que coincide con la de $\Omega$.

Saludos

[Alriga]

Cuando he dicho:

1. La matriz será hermítica si y solo si $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \Omega$ son reales.

Me quería referir exclusivamente a la matriz del enunciado:

$H=\left(<br /> \begin{matrix}<br /> \varepsilon_1 & \Omega \\<br /> \Omega & \varepsilon_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)$

Y entiendo que para la matriz del enunciado mi afirmación es correcta.

... $\Omega$ puede ser complejo en el elemento (1,2), en una matriz hermítica, en cuyo caso debe aparecer $\Omega^*$ en el elemento (2,1).
Los autovalores en este caso dependen de $|\Omega|^2 =\Omega \Omega^*$. La expresión de los autovectores (ves como he aprendido) adquieren una fase, que coincide con la de $\Omega$

Creo comprender, gracias, lo que dices es que en general una matriz del tipo

$M=\left(<br /> \begin{matrix}<br /> \varepsilon_1 & \Omega \\<br /> \Omega^* & \varepsilon_2<br /> \end{matrix}<br /> \right)$

Será siempre Hermítica aunque $\Omega \ \cancel{\in} \ \mathbb R, \ \Omega \in \mathbb C$

OK, gracias, saludos.