1r ciclo Densidad probabilidad para t>0

[sherrero]

Hola, tengo una duda en un ejercicio... me presenta la ecuación de una partícula libre en la que lo único "raro" es que dentro de la ecuación aparece $\sigma _{x}$ Concretando es: $\varphi (x,0)=(2\Pi \sigma _{x})^{-1/4}exp(-\frac{x^2}{4\sigma _{x}})$
En un apartado me pide calcular la densidad de probabilidad par un tiempo t>0 y lo que no entiendo es el motivo por el que no se puede añadir a la función de onda (para convertirla en dependiente del tiempo también) el resultado de la ecc Schrodinger del tiempo (como si hubieramos hecho separación de variables) de $exp(-\frac{iEt}{h})$
En la solución del ejercicio hace la transformada de Foureier para pasarlo al espacio de momentos, añade $exp(-\frac{iEt}{h})$ y luego hace la transformada inversa de fourier para poder calcular la densidad de probabilidad.

Gracias de antemano,

[sater]

Buenas, diría que lo que hace es lo siguiente:

- Para encontrar la función de onda evolucionada en el tiempo usamos el operador de evolución temporal $U(t,t_0)$(=$\mathrm{e}^{-i\hat H(p) t}$ para partícula libre), que evoluciona la función de onda (como vector de estado) de $|\Psi(0)\rangle$ a $|\Psi(t)\rangle$:

$$|\Psi(t)\rangle=U(t,0)|\Psi(0)\rangle$$

- Proyectamos sobre un vector $\langle x|$

$$\langle x|\Psi(t)\rangle =\langle x|\mathrm{e}^{-i\hat H(p) t} |\Psi(0)\rangle$$

-Introducimos la resolución de la identidad en momentos $\int \dd p |p\rangle\langle p|$, ya que el hamiltoniano de una partícula libre es función del momento lineal (y así usamos que este es autoestado del mismo), $\mathrm{e}^{-i\hat H(p) t}|p\rangle=\mathrm{e}^{-iE_p t}|p\rangle$, luego queda

$$\langle x|\Psi(t)\rangle= \int \dd p \mathrm{e}^{-iE_p t} \langle x|p\rangle \langle p|\Psi(0)\rangle$$

Por último, como $\langle x|p\rangle=\mathrm{e}^{-ixp}/\sqrt{2 \pi}$ y $\langle p|\Psi(0)\rangle=\Psi(p,t)$, queda

$$\int \dfrac{\dd p}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-iE_p t} \Psi(p,t) \mathrm{e}^{-ixp}$$

como tú decías.

Un saludo

[sherrero]

No sabía que el hamiltoniano de una partícula libre es función del momento lineal, esto entiendo que es porque la energía no está discretizada, y no puedo usar directamente el autoestado E de H, no había pensado en ello... muchas gracias, aún estoy en proceso de entender todo

[sater]

No sabía que el hamiltoniano de una partícula libre es función del momento lineal, esto entiendo que es porque la energía no está discretizada, y no puedo usar directamente el autoestado E de H, no había pensado en ello... muchas gracias, aún estoy en proceso de entender todo

Buenas, piensa que en mecánica clásica la energía de una partícula libre es solo cinética $E=\frac{1}{2} mv^2=\frac{p^2}{2m}$. El Hamiltoniano será el mismo, y al cuantizar solo cambias $p\to \hat p$.

Cualquier otra duda vuelve a preguntar

[sherrero]

Si si, ya lo pillo... Había mecanizado una forma de hacer ejercicios sin entender bien lo que venía detrás, ahora ya veo de dónde viene todo, gracias...