Otras carreras Dudas sobre operadores de evolución y su relación con el path-integral

[alexpglez]

Hola, tenía ciertas dudas sobre los operadores de evolución (temporal, traslación, y rotación). La primera es, si es correcta esta deducción:
Un operador de traslación D es tal que:

$$f(x-a)=\hat D(a) f(x)$$

Pero podemos desarrollar el primer término en series de potencias de a.

$$f(x-a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}\frac{\partial^n f(x-a)}{\partial a^n}\vert_{a=0}=[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{a^n}{n!}\frac{\partial^n }{\partial x^n}] f(x)=\exp(-a\frac{\partial}{\partial x})f(x)$$

Entonces tenemos que:

$$\hat D(a)=\exp(-a\frac{\partial}{\partial x})$$

Si hacemos un desplazamiento en 3D, podemos componer traslaciones, y como los argumentos de las exponenciales conmutan:
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$$\exp(-(a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y}+c\frac{\partial}{\partial z}))=\exp(-\Delta \vec r \cdot \vec \nabla)$$

Por el mismo procedimiento:

$$\hat T(\tau)=\exp(-\tau \frac{\partial}{\partial t})$$

Y para la rotación, hacemos una traslación tal que: $\Delta \vec r=\vec r \times \Delta \vec \theta$

$$\hat R(\Delta \vec \theta)=\exp(-(\vec r \times \Delta \vec \theta) \cdot \vec \nabla)=\exp(-\Delta \vec \theta \cdot (\vec r \times \vec \nabla))$$

Pero sabemos por otra parte que: $\nabla=\frac{i}{\hbar}\hat p$, $\frac{\partial}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}\hat E$, $\vec r \times \nabla= \frac{i}{\hbar}\vec r \times \hat p=\frac{i}{\hbar} \hat L$

$$\hat D(\Delta \vec r)=\exp(-\frac{i}{\hbar} \Delta \vec r \cdot \hat p)$$

$$\hat T(\tau)=\exp(\frac{i}{\hbar} \tau \hat H)$$

$$\hat R(\Delta \vec \theta)=\exp(-\frac{i}{\hbar}\Delta \vec \theta \cdot \hat L)$$

Para ser más exactos y expresarlos como operadores en el espacio de Hilbert:

$$\hat D(a)=\int \int d(x_0+a) dx'_0 \exp(-\frac{i}{\hbar} a \hat p)\delta(x'_0-x_0) |x_0+a,t><x'_0,t |$$

$$\hat T(\tau)=\int \int dxdx'\exp(\frac{i}{\hbar} \tau \hat H)\delta(x'-x) |x,t+\tau><x',t|$$

$$\hat R(\theta)=\int \int d(x+\theta L)dx'\exp(-\frac{i}{\hbar} \theta \hat L)\delta(x'-x) |x+\theta L ,t><x',t|$$

¿Hasta aquí todo bien?



La segunda duda que tengo es una interpretación de un signo (sí, un poco pardillo soy no interpretar un signo).

(Si hacemos el Hamiltoniano independiente del tiempo) llamando U al operador evolución temporal:

$$f(x,t)=\hat U(t,t_0) f(x,t_0)$$

Podemos obtener que:

$$U(t,t_0)=\exp[-\frac{i}{\hbar}(t-t_0)\hat H]$$

Sin embargo, pensando en que aplicar el operador temporal debe ser equivalente a trasladarlo temporalmente una cantidad: $\tau=t-t_0$, me sugiere que:

$$U(t,t_0)=T(t-t_0)$$

Pero sin embargo esto es incorrecto por el signo de la exponencial y que en realidad:

$$U(t,t_0)=T^{-1}(t-t_0)=T(t_0-t)$$

No entiende por qué. En que me he equivocado razonando.


La tercera duda es sobre las series de Dyson y su relación con el path-integral. Podemos deducir el operador evolución temporal, por medio de la ecuación de Schrödinger:

$$i \hbar \dot f(x,t)=\hat H f(x,t) \;\;\; i \hbar \dot U(t,t_0)=\hat H U(t,t_0)$$

Tengo idea de que esto se resuelve mediante integrales pero no sé muy bien. A no ser que el Hamiltoniano conmute consigo mismo en instantes distintos o sea independiente del tiempo, siendo sencilla la solución.
Pregunta: ¿En qué me he equivocado anteriormente al deducir el operador de traslación temporal y evolución temporal, si vemos aquí que no es correcta la fórmula escrita anteriormente?

$$U(t,t_0)=1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt^1 \hat H(t^1) U(t^1,t_0)=1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt^1 \hat H(t^1) [1-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t^1} dt^2 \hat H(t^2) U(t^2,t_0)]=$$

$$1+\frac{-i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt^1 \hat H(t^1)+\frac{(-i)^2}{\hbar^2}\int_{t_0}^t dt^1 \int_{t_0}^{t_1} dt^2 \hat H(t^1) \hat H(t^2) U(t^2,t_0)$$

Entonces:

$$U(t,t_0)=\sum_{n=0}^N\frac{(-i)^n}{\hbar^n} \prod_{j=1}^{n}\int_{t_0}^{t^{j-1}}dt^j \prod_{h=1}^n \hat H(t^h)+$$

$$+\frac{(-i)^{N+1}}{\hbar^{N+1}}\prod_{j=1}^{N+1}\int_{t_0}^{t^{j-1}}dt^j \prod_{h=1}^{N+1} \hat H(t^h) U(t^{N+1},t_0)$$

Dónde $t^0=t$
Pregunta: Por qué en el límite: $\lim_{N \to \infty} U(t^{N+1},t_0)=U(t_0,t_0)=1$
Pregunta: ¿Mediante el operador time-order cómo se apaña el primer término para que tenga la forma de una serie de una exponencial?
En apuntes he visto que el primer término es igual a: $U(t,t_0)=T(\exp[-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t dt' \hat H(t')])$

Pregunta: ¿Cómo a partir de esta fórmula se deduce el propagador, path integral de Feynman?

Gracias, saludos.

[alexpglez]

Re: Dudas sobre operadores de evolución y su relación con el path-integral

Perdonad, sé que no lo escrito quizá de manera adecuada, pero alguien podría despejarme alguna duda¿?

Gracias.