2o ciclo Valores posibles de las componentes del momento angular

[Kuiper]

Hola a todos, tengo una duda que me está quitando bastante tiempo:

Tengo la siguiente función de onda: $\Psi = (y^2+z^2) f(r)$.
Se me pide que encuentre los valores que se pueden obtener al medir los observables $L_x$, $L_y$, $L_z$ y $L^2$.

En cuanto a la componente x no tengo problema. Simplemente aplico la definición del operador sobre la función de onda:

$L_x \Psi = -i \hbar \left( y \dfrac{\partial}{\partial z} - z \dfrac{\partial}{\partial y} \right) \Psi$

Operando un poco llegamos al resultado:

$L_x \Psi = -i \hbar (y^2 + z^2) f'(r) (yz/r - yz/r)=0$,

de modo que esta componente del momento angular es nula.

Por otro lado, en cuanto a $L_z$ y $L^2$ creo que no habría problema. Lo que haría sería expresar la parte angular de la función de onda en términos de sus funciones propias, $Y_l^m$. Es decir,

$\Psi = (y^2+z^2) f(r) = \ldots = \left[ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} (3 \cos ^2 \theta - 1) - \frac{1}{4} \sin ^2 \theta e^{2i\phi} - \frac{1}{4} \sin ^2 \theta e^{-2i\phi} \right] r^2 f(r)$

$= \left[ \frac{2}{3} \sqrt{4 \pi} Y_0^0 + \frac{1}{6} \sqrt{\frac{16\pi}{5}} Y_2^0-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{32\pi}{15}}(Y_2^2+Y_2^{-2}) \right] r^2 f(r)$

El problema lo tengo cuando quiero encontrar los posibles valores al medir $L_y$. Al hacer actuar el operador en coordenadas cartesianas sobre la función de onda obtengo:

$L_y [(y^2+z^2)f(r)]=2i \hbar x z f(r)$,

el cual ya no se anula. También he expresado este resultado en la base de las $Y_l^m$:

$L_y \Psi = \dfrac{\hbar}{i} \sqrt{\dfrac{2\pi}{15}} ( Y_2^1-Y_2^{-1}) r^2 f(r)$,

lo cual queda de forma bastante elegante. Pero esto solo nos sirve para los operadores $L_z$ y $L^2$, puesto que sabemos que sus funciones propias son las $Y_l^m$, y sus valores propios vienen dados por:

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Sin embargo, no podemos proceder del mismo modo en el operador $L_y$, puesto que sus funciones propias no son las mismas que para los dos anteriores.

¿Alguien me podría ayudar a encontrar los posibles valores de la componente $L_y$?

Un saludo y gracias de antemano.