Otras carreras Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

[Richard R Richard]

He comenzado a leer un libro de mecánica cuántica, me llama poderosamente la atención que si se puede definir una función de onda $\psi(x,y,z,t)$ la cual se normaliza para hallar la probabilidad de que exista en todo al espacio e igualarla a 1, resumiendo las 3 dimensiones a una sola y considerando un instante t , se utilice a

$|\psi|^2\dd x$ como densidad de probabilidad.

si primeramente se define

$$|\psi|^2=\dst \int^{\infty}_{-\infty} \psi^2(x) \dd x$$

$$\dfrac{1}{|\psi|^2}\dst \int^{\infty}_{-\infty} |\psi(x)|^2\dd x=1$$

La pregunta es porque no se usa a $|\psi|\dd x$ que también es "normalizable"

$|\psi|=\dst \int^{\infty}_{-\infty} |\psi(x)| \dd x$

me doy cuenta que si uso $\psi$ sin modulo voy a obtener cero como valor medio.

$$\dfrac{1}{|\psi|}\dst \int^{\infty}_{-\infty} |\psi(x)|\dd x=1$$

si $\psi$ es una variable compleja su modulo no lo es, porque la razón del cuadrado entonces?.

he buscado en el foro y se lo da por sentado, y googleando también

Quizá se me mezclan cosas si $\psi$ es una función de onda entonces toma valores negativos ,pero como dije su módulo no

que es lo que no veo aún, o que supongo mal y me equivoco de lo que expuse.

O debo dar un salto de fe y más adelante se me va a ser costumbre, pues los resultados experimentales lo avalan.

[visitante20160513]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

No sé que libro es el que estas leyendo pero por lo que yo sé, que tampoco es demasiado, lo que se normaliza es $\Psi\Psi^*$, es decir el producto de la función de onda por su complejo conjugado, que si no me falla la memoria coincide con el cuadrado de su amplitud, $\psi^2$. Creo que también se hace así por analogía con las ondas convencionales ya que la energía que se propaga en dichas ondas es proporcional al cuadrado de su amplitud. Aunque es probable que además exista alguna razón más profunda que a mí se me escape.

Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

Si habia leido en algún post que $\Psi\Psi^*=\Psi\overline{\Psi}=|\Psi|^2$ y que se lo usaba como función de densidad, pero no he encontrado la razón del cuadrado, tu me dices que viene de la multiplicación de la función por su conjugado, bien,

que diferencia hay con definir la densidad como $\sqrt{\Psi\overline{\Psi}}\dd x$ a eso es lo que apunto,

El libro me dice que por definición

$\dst \int^{\infty}_{-\infty} |\Psi(x)|^2\dd x=1$

pues así $\Psi$ esta normalizada ... y es logico que así sea para cualquier $\Psi$ pero sigo sin entender lodel cuadrado

[visitante20160513]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

No se, no se, mejor esperamos a ver si hay alguien que sepa más que yo, la cuántica no es lo mio.

Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

He avanzado o no en comprender...

por el teorema de fourier cualquier función \Psi(x) se puede desarrollar como

$\Psi(x)=\dfrac 1{2\pi}\dst \int^{\infty}_{-\infty} f(k) \ee^{ikx} \dd k$

pero nuevamente para que esto tenga sentido se debe cumplir que $\dst \int^{\infty}_{-\infty} |f(k)|^2 \dd k=1$ ose a que $|f(k)|^2 \dd k$ es una densidad de probabilidad pero no encuentro el porque.

es el mismo tipo de función en otra variable sigo dando vueltas en círculos.

[visitante20160513]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

Yo me voy a dormir, mañana lo aclaramos. De todas formas la física no funciona como las matemáticas, no tiene que haber una razón para que las cosas sean de una manera, basta con que expliquen la fenomenología y den razón suficiente, ¿porqué es así?. La naturaleza es caprichosa, supongo. Aunque te advierto que con la relatividad pasa lo mismo. Hay al menos 100.000.000.000 de soluciones para obtener una transformación que deje invariante la velocidad de la luz, y resulta que la que funciona es una modesta aplicación lineal, la transformación de Lorentz ¿no te parece raro?

Salu2, Jabato.

[justinux]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] No se si hay un error tipográfico en la primera formula que expone richard, donde escribe la integral de $\psi ?2$ en vez de [text] \vert \psi\vert^2 [/tex].[/FONT]
[FONT=Helvetica] Si tu pregunta es por qué se define así la norma. Hay varios motivos. Por un lado desde los postulados de la Mecánica Cuántica se dice que los estados Físicos se representan mediante rayos en un espacio de Hiltbert. Un espacio de Hiltbert es un espacio vectorial con producto interno que define un espacio normado completo. Un ejemplo de espacio vectorial con producto interno que da una norma competa es el llamado ${\cal L}^2$ o sea, el de funciones de (módulo) cuadrado integrable que es completo, y el producto interno que lleva a este espacio es,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$(f,g) = \int_\infty^\infty f(x) g^*(x) \, dx$[/FONT]
[FONT=Helvetica]y si te das cuenta, haciendo g=f da la norma de f.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] La norma que tu propones como ejemplo es la que da estructura al espacio ${\cal L}^1$ o sea, el espacio de funciones de módulo integrable que es una métrica perfectamente válida, pero no viene (que yo sepa) de ningún producto interno bien definido (ya que no cumple la ley del paralelogramo).. En cualquier caso la elección de ${\cal L}^2$ simplifica mucho las cosas para algunos problemas estandar (y como dice Jabato, nos permite definir fácilmente promedios de magnitudes como en otras areas).. Sin embargo tu pregunta es totalmente pertinente ya que hay problemas de Física Cuántica donde ${\cal L}^2$ no es suficiente para definir los estados físicos. Sin ir más lejos una onda plana no es de cuadrado integrable, y por tanto a veces necesitamos definir espacios de Hiltbert mayores (espacios de Hiltbert “equipados” (rigged Hiltert spaces)).[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Uno se podría preguntar por qué usamos la distancia (o norma) de un vector euclideo como la suma de lso cuadrados de sus componentes, y no simplemente la suma de los valores absolutos de tales compoenentes. Aunque ambas métricas sean equivalentes topológicamente no lo son a nivel geométrico, pero sería una noción válida de distancia. [/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Para resumir, las propiedades topológicas de [tex {\cal L}^2[/tex] son adecuadas para definir un espacio de Hiltbert y simplifica las cosas, pero siempre puedes representar los estados Físicos por medio de un espacio de Hiltbert distinto mientras se cumplan ciertas propiedades algebraicas y matemáticas adecuadas. La interpretación de la amplitud de onda y otras características van a depender de dichas propiedades matemáticas.[/FONT]

Por ejemplo, lo que mencionas del desarrollo de Fourier es asegurado por ser ${cal L}^2$ un espacio de Hilbert (y por tanto c completo).

Salduos

[Richard R Richard]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

[FONT=Helvetica]No se si hay un error tipográfico en la primera formula que expone richard, donde escribe la integral de $\psi ?2$ en vez de [text] \vert \psi\vert^2 [/tex].[/FONT]

[FONT=Helvetica]

[/FONT]si lo había.Y ya esta corregido

[FONT=Helvetica] Si tu pregunta es por qué se define así la norma. Hay varios motivos. Por un lado desde los postulados de la Mecánica Cuántica se dice que los estados Físicos se representan mediante rayos en un espacio de Hiltbert. Un espacio de Hiltbert es un espacio vectorial con producto interno que define un espacio normado completo. Un ejemplo de espacio vectorial con producto interno que da una norma competa es el llamado ${\cal L}^2$ o sea, el de funciones de (módulo) cuadrado integrable que es completo, y el producto interno que lleva a este espacio es,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$(f,g) = \int_\infty^\infty f(x) g^*(x) \, dx$[/FONT]
[FONT=Helvetica]y si te das cuenta, haciendo g=f da la norma de f.[/FONT]

[FONT=Helvetica]

[/FONT]El libro no me aclara de espacios, ni de nada solo define la densidad de probabilidad de ese modo, y con el cuadrado del módulo, y no con el módulo a secas. eso es lo que pregunto, cual es la razón física para ello, matematicas las comprendo pues se que por mas que la función f(x) o g(x) tomen valores negativos, la probabilidad de que tome ese valor mas un pequeño diferencial siempre será positiva, pero eso también lo cumple el módulo a secas y a por eso insisto que debe haber otra razon que no veo. Matematicamente entiendo todos los conceptos, o almenos eso creo.[FONT=Helvetica]

[/FONT]

[FONT=Helvetica] La norma que tu propones como ejemplo es la que da estructura al espacio ${\cal L}^1$ o sea, el espacio de funciones de módulo integrable que es una métrica perfectamente válida, pero no viene (que yo sepa) de ningún producto interno bien definido (ya que no cumple la ley del paralelogramo)..[/FONT]

[FONT=Helvetica]
[/FONT]

Por las dudas revise que era la ley del paralelogramo pero entiendo que se refiere a la norma de vectores o de las funcione del espacio, bien, lo entiendo, quiza no me se explicar lo que veo de extraño

en probabilidad y estadistica una funcion de densidad de probabilidad es aquella que cumple

$1=\dst\int^{\infty}_{-\infty} f'(x) \dd x$ luego defines una probabilidad de encontrar el valor de x dentro de un rango como

$P_{[a,b]}=F_{(b)}-F_{(a)}=\dst\int^{b}_{a} f'(x) \dd x$

bueno yo creo entender que $|\Psi|$ y $|\Psi|^2$ pueden perfectamente cumplir con la misión de ser una densidad de probabilidad. Jabato, tu y los libros me dicen que se usa $|\Psi|^2$ que es el producto escalar normado de la función y su conjugado. pero quiero saber cual es la razón física para hacer esa elección y no otra como la que veo mas directa para relacionar la magnitud de la variable con su probabilidad. Es claro que existe esa explicación pero no la encuentro escrita por ningun lado. o es lo que me explican y no lo entiendo.

[FONT=Helvetica] En cualquier caso la elección de ${\cal L}^2$ simplifica mucho las cosas para algunos problemas estandar (y como dice Jabato, nos permite definir fácilmente promedios de magnitudes como en otras areas).. Sin embargo tu pregunta es totalmente pertinente ya que hay problemas de Física Cuántica donde ${\cal L}^2$ no es suficiente para definir los estados físicos. Sin ir más lejos una onda plana no es de cuadrado integrable, y por tanto a veces necesitamos definir espacios de Hiltbert mayores (espacios de Hiltbert “equipados” (rigged Hiltert spaces)).[/FONT]
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[FONT=Helvetica] Uno se podría preguntar por qué usamos la distancia (o norma) de un vector euclideo como la suma de lso cuadrados de sus componentes, y no simplemente la suma de los valores absolutos de tales compoenentes. Aunque ambas métricas sean equivalentes topológicamente no lo son a nivel geométrico, pero sería una noción válida de distancia. [/FONT]
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[FONT=Helvetica] Para resumir, las propiedades topológicas de [tex {\cal L}^2[/tex] son adecuadas para definir un espacio de Hiltbert y simplifica las cosas, pero siempre puedes representar los estados Físicos por medio de un espacio de Hiltbert distinto mientras se cumplan ciertas propiedades algebraicas y matemáticas adecuadas. La interpretación de la amplitud de onda y otras características van a depender de dichas propiedades matemáticas.[/FONT]

Por ejemplo, lo que mencionas del desarrollo de Fourier es asegurado por ser ${cal L}^2$ un espacio de Hilbert (y por tanto c completo).

Salduos

Voy a leer algo sobre los espacios de Hilbert , para ver si se me aclara la duda, pero intuyo que lo que quiero saber no tiene nada que ver apriori.

Gracias

[visitante20160513]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

A primera vista parece que la razón no debería ser matemática puesto que desde un punto de vista matemático tan válido debe ser un argumento como el otro, así que quizás debemos buscar una razón física, pero si existe nunca he leído en ninguna parte que exista, es simplemente un aparato matemático que da razón de los fenómenos. De hecho hasta que los físicos llegaron a interpretar la función de onda como una densidad de probabilidad hubo muchas otras versiones previas que la interpretaban como una densidad de masa, como las famosas ondas de materia de De Broglie o incluso como si el electrón estuviera "desparramado" en el interior del átomo, como la interpretó el propio Schrödinger, algo aparentemente mucho más lógico, ya que si lo miras de una forma fría decir que una probabilidad es una magnitud física no tiene mucho sentido. Quizás te convendría leer esta web ya que no parece que eso tenga que ser así, hay muchas otras:

interpretaciones de la mecánica cuántica

y quizás este otro artículo te resulte interesante, que aunque es bastante elemental apunta directamente al problema que te está preocupando, creo:

La ecuación de onda de Schrödinger

Salu2, Jabato.

[carroza]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

Hola.

¿Os habéis parado a pensar cómo definimos el módulo de un vector? Si un vector tiene componentes $v_x, v_y. v_z$, su módulo al cuadrado es $|v|^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z ^2$. No definimos el módulo de un vector como la suma de los valores absolutos de las componentes. Y esto tiene una razón: si hacemos una rotación, y cambiamos los ejes, cambian las componentes del vector, que ahora son $v'_x, v'_y. v'_z$, pero la suma de los cuadrados de las componentes no cambian, con lo que el módulo no cambia. Si hubiéramos definido el módulo del vector como la suma de los valores absolutos de las componentes, este módulo variaría frente a rotaciones, y no es eso lo que queremos, ya que aunque cambiemos los ejes, el vector es el mismo, y su módulo debe ser el mismo.

Con la función de onda pasa lo mismo. Un estado cuántico es un vector en el espacio de Hilbert, que es un cierto espacio vectorial, con infinitas dimensiones. La función de onda, $\phi(x)$, representa las componentes del vector estado en una cierta base (los autoestados del operador posición, o sea, deltas de Dirac). La expresión de la norma al cuadrado del estado es $\int dx \phi^*(x) \phi(x)$, que no es más que la suma de las componentes al cuadrado. Podriamos representar al mismo vector estado en otra base (por ejemplo, los autoestados del operador momento, o sea, ondas planas), y tendríamos otra expresión para la función de onda, $\widetilde{\phi}(q)$, pero la norma al cuadrado del estado, dada por $\int dq \widetilde{\phi}^*(q)\widetilde{\phi}(q)$, sería la misma.

Esto no ocurre si definimos la norma como $\int dx |\phi(x)|$. Por tanto, hay una razón muy clara para definir la norma como lo hacemos, y es que la norma de un estado cuántico sea independiente de la base (autoestados de la posición, o autoestados del momento), que elijamos para representarla.

Saludos

[visitante20160513]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

Pero Carroza, yo entiendo que la razón debería ser física y no matemática. Buscar la razón en el hecho de que los estados cuánticos son vectores de un espacio de Hilbert está bien pero no es suficiente para mí al menos. No sé demasiado de mecánica cuántica y seguro que tu sabes más que yo pero ¿no hay una razón física?

Me explico con un ejemplo, a ver si puedo. Para una solución cualquiera de la ecuación general de las ondas, $f(\mathbf r-\mathbf vt)$ siempre es posible encontrar otra solución de la forma $g(\mathbf r-\mathbf vt)$ que pueda interpretarse como una función de cuadrado sumable normalizada, es decir como una distribución de probabilidad, pero eso no quiere decir que allí donde se propaga una onda exista realmente una partícula que satisfaga que la probabilidad de ser encontrada en una cierta región del espacio dependa de dicha solución. Vamos eso creo yo, y sin embargo la interpretación matemática es impecable. Yo creo que deberíamos buscar una razón física y no una matemática, los modelos matemáticos ya sabemos lo que pasa con ellos, van y vienen a medida que se necesita. Por ejemplo cuando el público de un estadio de fútbol decide hacer la ola ocurre que se esta propagando una onda, pero ... ¿realmente hay una partícula que está moviéndose por las gradas del estadio? Yo diría que no. En otras palabras, el hecho de que matemáticamente sea posible no significa que tenga sentido desde un punto de vista físico.

Salu2, Jabato.

[guibix]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

yo entiendo que la razón debería ser física y no matemática. Buscar la razón en el hecho de que los estados cuánticos son vectores de un espacio de Hilbert está bien pero no es suficiente para mí al menos.

Yo tampoco lo entiendo mucho pero creo entender que si tomas una función de onda clásica, su intensidad es proporcional al cuadrado de su amplitud. Cuando se pasa a la mecánica cuántica cambia la interpretación: la intensidad pasa a ser el número de cuantos. Y cuando hablamos de millones de cuantos, para que se dé la solución clásica de intensidad, entonces la probabilidad tiene que ser proporcional sí o sí al cuadrado de la amplitud. Creo que esto es una razón física suficiente.

¿O quizás me dejo algo más?

Saludos.

PD: Bueno, además pasa que si el cuadrado de la amplitud es una probabilidad, entonces sí o sí hay que normalizarla para que realmente pueda ser una distribución de probabilidad.

[carroza]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

A ver, Jabato. Antes de discernir razones físicas de razones matemáticas, hay que ver si una expresión es coherente.

Si hablamos de la expresión del módulo de un vector, en función de las componentes, necesitamos una expresión que sea invariante frente a rotaciones, porque el módulo de un vector no depende del sistema de referencia. No nos vale cualquier expresión que sea positiva. En concreto, no nos vale la suma de los valores absolutos de las componentes.

Si hablamos de la probabilidad de encontrar un electrón, en términos de la función de onda, necesitamos una expresión que sea invariante frente a un cambio de base, porque la probabilidad de encontrar un electrón en una zona del espacio (1, 0, o 0.5), no depende de la base que elijamos para describirlo. No te vale, el modulo de la función de onda como densidad de probabilidad, por muy positiva que sea. La probabilidad, dada por la integral del módulo de la función de onda, depende de la base (coordenadas o momentos) que hayas elegido para describirla. Y sería absurdo que la probabilidad de que encuentres el electrón dependa de qué base (o sea qué matemáticas) hayas usado para describirlo.

Saludos

[alexpglez]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

Yo entiendo que la pregunta de Jabato va por otro sentido. Me atrevería afirmar que es la siguiente:
¿Por qué la función de onda** es un vector en un espacio de Hilbert? ¿Porqué la probabilidad se describe con el producto interno?

** Técnicamente, aclaro sobre todo para Richard, la función de onda es la representación del vector en el espacio de posiciones. La transformada de fourier de la función de onda, sería la representación del vector en el espacio momentum.
Esto se ve más claro cuando veas espacios de Hilbert, los hay discretos, en los que se basa la mecánica matricial, y contínuos, en los que se basa la mecánica ondulatoria. Luego cuando me conecte al ordenador puedo pasar el link a un pdf bastante bueno.

- - - Actualizado - - -

Para que se me entienda mejor la pregunta, pregunto algo más concreto, ¿Por qué la media de A es $<\phi | \hat A \phi >$, y no $<\phi | \hat A \phi >^n$ donde n puede ser cualquier número real?

[Richard R Richard]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

Si hablamos de la expresión del módulo de un vector, en función de las componentes, necesitamos una expresión que sea invariante frente a rotaciones, porque el módulo de un vector no depende del sistema de referencia.

hola aqui si que despisto, entiendo lo que es un invariante y que el modulo de un vector es independiente del sistema de referencia.

Pero si $|\psi|^2$ es un invariante me pregunto por que no lo será su raiz cuadrada $|\psi|$

De lo que voy a escribir no tengo idea certera, pero me imagino el caso de un atomo de helio tiene 2 electrones, cual es la probabilidad de hallar uno en una determinada región

me aventuro a algo similar a si $\Psi(x)$ es la función de onda de un electrón y $\Phi(x)$ la del otro

$P_{[a+b]}=\dst \int^{R_2}_{R_1} |\Psi(x)|^2 \dd x+ \dst \int^{R_2}_{R_1} |\Phi(x)|^2 \dd x=\dst \int^{R_2}_{R_1} \left (|\Psi(x)|^2+|\Phi(x)|^2 |\right )\dd x$

lo que si no se si pierde la norma es decir que la probabilidad conjunta en todo el espacio sea 1 Esa suma de los módulos cuadrados puede ser interpretado también como una densidad de probabilidad conjunta pues seria la norma al cuadrado de otro vector

cosa que no sucede si solo consideramos el modulo a secas así

$P_{[a+b]}=\dst \int^{R_2}_{R_1} |\Psi(x)| \dd x+ \dst \int^{R_2}_{R_1} |\Phi(x)| \dd x=\dst \int^{R_2}_{R_1} \left (|\Psi(x)|+|\Phi(x)|\right )\dd x$

pues no se cumple

$|\Psi(x)|+|\Phi(x)|\neq |\Psi(x)+\Phi(x)|}$



aunque no se si se cumple $\left (|\Psi(x)|^2+|\Phi(x)|^2 \right )=\left (|\Psi(x)+\Phi(x)|^2 \right )$ en el espacio de Hilbert, si fuera cartesiano diria que no.

bueno asi es la interpretación matemática que le doy , estoy en lo correcto? con esto se puede decir que el vector resultante también responde a una ecuación de onda?

** Técnicamente, aclaro sobre todo para Richard, la función de onda es la representación del vector en el espacio de posiciones. La transformada de fourier de la función de onda, sería la representación del vector en el espacio momentum.

Si alex creo que en definitiva tengo que adentrarme mas a la lectura y no preguntar a las primeras, aunque creo que esto se me va dificultar mas que la relatividad general.