2o ciclo Demuestra que el estado de un oscilador armónico en tres dimensiones con energía tiene una degeneración

[Enrique1990]

Demuestra que el estado de un oscilador armónico en tres dimensiones con energía:


$\left ( N+\frac{3}{2} \right )\hbar\omega$


tiene una degeneración:


$\frac{1}{2}\left ( n+1 \right )\left ( n+2 \right )$


Lo que e echo es esto.

Partimos de la ecuación:

$E_{n_{1}n_{2}n_{3}}=\left ( n_{1}+n_{2}+n_{3}+\frac{3}{2} \right )\hbar\omega$


el problema equivale a un sistema de tres osciladores idénticos, por lo tanto, los niveles de energía están dados por:


$N=n_{1}+n_{2}+n_{3}$



$E_{n_{1}n_{2}n_{3}}=\left ( N+\frac{3}{2} \right )\hbar\omega$

Hasta aquí solo e podido llegar, estoy perdido en como resolver este problema, e visto algunos pdfs y encuentran el nivel genérico de degeneración, pero no tengo idea de eso. Me podrían ayudar con mi problema, de antemano muchas gracias.

[alar]

Has de ver de cuántas formas puedes escribir un número N como suma de tres números naturales.

Encara el problema con un caso más simple, fija n3=0. Cuando tenga claro de cuántas formas puedes escribir N como suma de dos números haz el problema sabiendo que tienes controlado de cuántas formas diferentes puedes escribir n1+n2=N-n3 cuando has fijado N y n3.

[carroza]

Hola.

Este tipo de problemas puede resolverse por , digamos, "inducción patatera": Evalua las degenereciones D(N) para N pequeños, e intenta extraer una formula general:

Para N=0, D(N)=1 (hay una unica forma, (0,0,0))

Para N=1, D(N)=3 (hay tres formas, (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))
Para N=2, D(N)=6

Para N=3, D(N)=10

A partir de aqui, puedes inferir que D(N) depende cuadráticamente con N, y si despejas coeficinetes, te sale D(N) = N^2/2 + 3N/2 + 1 = (N+1)(N+2)/2

Saludos

[Dj_jara]

Ya que no me gusta la inducción patatera, voy a dar otra forma.

Tienes tres números naturales que tienen que sumar N. Puedes imaginar ese problema de la siguiente forma, tienes N bolas y tienes que ver como organizarlas en 3 conjuntos. Imagina que tienes N bolas en serie y puedes añadir una barrera a la izquierda o derecha de cada bola, e.g. |o o o|o o (en este caso el primer conjunto tendría 0 bolas, el segundo 3 y el tercero 2). Es decir para separar en 3 conjuntos has de poner 2 barreras en N+1 posibles posiciones, esto ya te debería de empezar a sonar a número combinatorio de cuantas formas distintas sin repeticiones puedes elegir 2 barreras (N+1)!/(2!(N-1)!)=(N+1)N/2, pero en el número combinatorio estamos eliminando demasiadas opciones. Nosotros sí que queremos que se puede elegir la misma barrera 2 veces (es decir que el segundo conjunto sería vacío), así que hay que añadir N+1, lo que nos da (N+1)(N+2)/2

[carroza]

Gracias, Dj_lara. A mi tampoco me gusta mucho la induccion patatera.

Dejame que perfile tu argumento. Efectivamente, para hallar la degeneración hay que poner dos "barreras" en N+1 sitios. Eso puede hacerse directamente usando las Combinaciones con Repetición https://es.wikipedia.org/wiki/Combin...epetici%C3%B3n, de N+1 elementos tomados de dos en dos.

$D(N) = CR_{N+1}^2 = {{N+1+2-1}\choose{2}} = (N+2)(N+1)/2$

De la misma forma, podriamos extender el problema a d dimensiones, con lo que la degeneración de un estado de oscilador armónico con N cuantos en d dimensiones serían las combinaciones con repetición de N+1 elementos tomados de (d-1) en (d-1)

$D(N, d) = CR_{N+1}^{d-1} = {{N+1+d-1-1}\choose{d-1}} = (N+d-1) \dots (N+1)/ (d-1)!$