Otras carreras Antisimetria de intercambio

[Pola]

Buenos días.

Quería preguntar sobre una duda que me ha surgido leyendo un libro.

Parto de la base de que las partículas elementales son idénticas unas a otras. Es decir, un electrón, por ejemplo, es exactamente igual a otro electrón.
Por otro lado tenemos la función de onda:

Y(X₁, X₂, t)

que describe la posición de dos electrones en el instante t.

Según el libro, si intercambiamos las posiciones de los dos electrones (o cualquier otro fermión), la nueva función de onda que describe su estado sería:

- Y(X₂, X₁, t)

Es decir, que Y(X₁, X₂, t) = - Y(X₂, X₁, t)

O sea, que son antisimétricas.

Mi duda es ¿por qué, si ambos electrones son idénticos? No lo entiendo.

[Livilro]

Saludos Pola
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Determinante_de_Slater

Al final del primer apartado se menciona.


"dos electrones no pueden estar descritos por el mismo espín-orbital ya que significaría que la función de onda se anula en todo el espacio."

[The Higgs Particle]

Primero, perdona porque por alguna razón no me lee el comando \ket y escribir esta respuesta ha sido un poco infierno, la verdad.

Buenos días.

O sea, que son antisimétricas.

Mi duda es ¿por qué, si ambos electrones son idénticos? No lo entiendo.

Pasa eso precisamente porque son idénticos! Quiero decir, imagina que tenemos un sistema con dos partículas, 1 y 2, y dos estados diferentes (como podrían ser dos orbitales diferentes del átomo de hidrógeno), |1⟩ y |2⟩. ¿Qué podemos esperar de la función de onda del sistema?

• Partículas clásicas. Si tenemos partículas clásicas, son distinguibles. Entonces hay dos casos: que la primera partícula esté en el primer estado y la otra partícula en el segundo, luego $\psi_{clasica}^1 =$ |1⟩₁ $\otimes$ |2⟩₂, o que la primera partícula esté en el segundo nivel, y la otra en el primero: $\psi_{clasica}^2=$ |2⟩₁ $\otimes$ |1⟩₂
• Partículas cuánticas. Si tenemos partículas cuánticas, la cosa se complica, porque son indistinguibles. Esto nos quiere decir que si yo intercambio las dos partículas (que lo podemos escribir como que aplico un operador intercambio, $\hat I$, a la función de onda que tenía inicialmente, $\psi_1$), la física debe ser la misma, (luego el efecto de este intercambio debe ser, como mucho, sumarle una fase al sistema, $a \equiv e^{i\phi}$, así: $\hat I \psi_1 = \psi_2 = a \psi_1$, ya que en física lo que importa es el cuadrado, la norma de la función de onda, y esto va a permanecer igual aunque añadas una fase - que tiene norma 1 -). Igualmente, si vuelvo a aplicar este intercambio, volviendo a la posición inicial, debo recuperar lo que tenía inicialmente: $\hat I (\hat{I} \psi_1) = \hat{I}^2 \psi_1 =a^2 \psi_1 \to a =\pm 1$. Es decir, siempre que tengamos partículas idénticas, como son idénticas y, por ello, la física debe ser la misma bajo el intercambio de sus posiciones, vamos a tener la libertad de que la función de onda tenga un signo '+' o un signo '-', ya que ambas posibilidades te van a dar la misma física. Ahora bien, ¿cuál de las dos cogemos? Si tenemos nuestro sistema de antes con dos partículas y dos estados, ¿cuál es la función de onda del sistema? Lo que está claro es que ahora no podemos tener las $\psi_{clasica}^1$ y $\psi_{clasica}^2$ que teníamos antes, ya que si ahora intercambiamos las partículas en $\psi_{clasica}^1$, por ejemplo, obtenemos el otro estado diferente del sistema, $\psi_{clasica}^2$, que puede hasta tener otra energía. Entonces, ¿cómo es ahora la función de onda? ¡Pues depende del tipo de partícula que tengamos!
  • Bosones: Los bosones son simétricos bajo el intercambio de sus partículas, porque no siguen el principio de exclusión de Pauli, luego pueden estar todos en el mismo estado (cosa que provoca la condensación de Bose-Einstein, por cierto),, y tendríamos: $\psi_{bosones} =$ |1⟩₁ $\otimes$ |2⟩₂ + |2⟩₁ $\otimes$ |1⟩₂. Es decir, tenemos una combinación lineal y simétrica de ambas posibilidades, ya que, como son partículas idénticas, no tenemos ninguna preferencia por que una de ellas esté en un nivel concreto.
  • Fermiones: En este caso, se sigue el principio de exclusión de Pauli: no puede haber 2 ó más fermiones idénticos en el mismo estado, luego ha de ser antisimétrica: $\psi_{fermiones} =$ |1⟩₁ $\otimes$ |2⟩₂ - |2⟩₁ $\otimes$ |1⟩₂. ¿Por qué? Porque fíjate que si ahora tuviésemos dos fermiones pero un solo nivel de energía tendríamos: $\psi_{1 nivel} =$ |1⟩₁ $\otimes$ |1⟩₂ - |1⟩₁ $\otimes$ |1⟩₂ $=0$. Es decir, esta elección con el signo "-" nos dice que si intentamos meter 2 e- en el mismo nivel, no podemos, la función de onda "no existe", ya que violaríamos Pauli. Bueno, esto es algo muy profundo, que surge del teorema del spin-estadística (mira cómo literalmente esto es la distribución escalón de Fermi-Dirac para $T=0K$ que hace que los metales se llenen de e- solo hasta cierto nivel de energía... ¡o que las estrellas no sucumban bajo su propia gravedad!), y que permea no solo este formalismo de primera cuantización, sino también el de segunda.

[Alriga]

.... perdona porque por alguna razón no me lee el comando \ket y escribir esta respuesta ha sido un poco infierno, la verdad ...

Hola Ana, nota que puedes usar \langle y \rangle, por ejemplo el LaTeX de:

[TEX]\langle \psi_1 \rangle[/TEX]

Se ve así:

$\langle \psi_1 \rangle$

Y escribiendo [TEX]\vert \psi_1 \rangle[/TEX]

Se ve así:

$\vert \psi_1 \rangle$

Contento de que te prodigues por aquí, saludos.

[Pola]

Pues ahora ya lo entiendo.

Gracias por la larga explicación a "The Higgs Particle".

Gracias también Livirlo.

Un saludo

[The Higgs Particle]

Hola Ana, nota que puedes usar \langle y \rangle, por ejemplo el LaTeX de:

[TEX]\langle \psi_1 \rangle[/TEX]

Se ve así:

$\langle \psi_1 \rangle$

Y escribiendo [TEX]\vert \psi_1 \rangle[/TEX]

Se ve así:

$\vert \psi_1 \rangle$

Contento de que te prodigues por aquí, saludos.

Gracias, y el placer es mío de estar entre gente, como decía Machado, en el buen sentido de la palabra, buena!