Colisión entre dos partículas con diferente espín

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ENUNCIADO

Considere el siguiente problema unidimensional que trata sobre la colisión entre dos partículas de diferente espín. La partícula 1 (proyectil) de espín $s_{1}=\frac{1}{2}$ está en el estado $|{\frac{1}{2} \frac{1}{2}}>$, mientras que la partícula 2 (objetivo fijo en $x=0$) tiene espín $s_{2}=1$ y está en el estado $|{1 0}>$. El hamiltoniano de interacción entre ellas es $V=-\frac{\lambda}{h^2} \delta(x) \vec{s_1} \cdot \vec{s_2}$, con $\lambda>0$.

La partícula 1 se aproxima a la partícula 2 por la izquierda y con energía $E$.

1) Determinar el espacio de Hilbert de este problema.
2) Considerando el hamiltoniano total, definir los dos CCOCs (Conjuntos Completo de Observables que Conmutan): el canónico y el de suma de momento angular.
3) Determinar las energías requeridas para obtener estados ligados y encontrar tales estados.
4) Determinar las energías requeridas para obtener estados no ligados o de dispersión y encontrar tales estados.
5) Determinar el espín de las partículas luego de la colisión.
6) Calcular las distintas probabilidades de transición del proyectil.

SOLUCIÓN

1) Los espacios de Hilbert de cada partícula y del sistema total son:
$H_1={|{\frac{1}{2} \frac{1}{2}}>; |{\frac{1}{2} -\frac{1}{2}}>}$
$H_2={|{1 1}>; |{1 0}>; |{1 -1}>}$
$H=H_1 \otimes H_2$

2) No sé a qué se refiere con "considerando el hamiltoniano total", pero entiendo que los dos CCOCs son:
Canónico: ${(S_1)^2, (S_2)^2, S_{1z}, S_{2z}}$
Suma: ${(S_1)^2, (S_2)^2, S^2, S_{z}}$

3)4) Si no fuera por la presencia de la parte de espín, lo resolvería con el método de ondas parciales, es decir, resolviendo la ecuación radial de Schrödinger para un potencial delta de Dirac, pero en este caso no sabría como proseguir.

Sé que cuando aparece el producto interno entre los momentos angulares de partículas diferentes se usa el truco de $\vec{S_1} \cdot \vec{S_2}=\frac{1}{2} [S^2-(S_1)^2-(S_2)^2]$, por lo que la parte de espín sola daría energías $E=-\frac{\lambda}{2h^2} \delta(x) [s(s+1)-s_1(s_1+1)-s_2(s_2+1)]=-\frac{\lambda}{2h^2} \delta(x) [s(s+1)-\frac{11}{4}]$, pero el potencial dado no solo contiene la parte de espín.

5)6) El estado inicial del sistema es: $|{1/2; 0}>$, que es un estado del espacio de Hilbert total. Una vez que conozca el estado final del sistema, podría escribir el estado final de la partícula 1 en términos de los kets de $H_1$. Luego, la probabilidad de transición se calculará evaluando el cuadrado del producto interno entre cada ket de $H_1$ y el estado final de la partícula 1. Pero no sé como calcular el estado final del sistema.

[carroza]

Hola.

1 y 2 lo tienes correcto.

Para hacer los demás, espero que sepas tratar una interacción delta en una dimensión, en el caso sin espín. La interacción delta cambia la pendiente de la función de onda en el origen. Si es atractiva, puede generar un unico estado ligado, a una energía dada, que es negativa. Para las energías positivas, la interacción delta genera un corrimiento de fase..

El tema del espín solamente te sirve para considerar que, si el espín total es 3/2, la interacción es atractiva y habrá un estado ligado, aparte de ciertos corrimientos de fase a todas las energias positivas. Si el espín total es 1/2, la interacción será repulsiva, y no habrá estados ligados.

Intenta avanzar, y pregunta si tienes más dudas.

Saludos

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carroza, gracias por tu ayuda. Entiendo que la interacción delta sin espín $V=-\frac{\lambda}{h^2} \delta(x)$ lleva a una energía $E=-\frac{m \lambda^2}{2h^4}$ y a un autoestado $\phi=\sqrt{\frac{m \lambda}{h^4}} exp(-\frac{m \lambda |x|}{h^4})$ si la energía incidente es negativa. Por otro lado, si la energía incidente es positiva, llevará a ondas viajeras cuyos módulos pueden ser escritos en términos de los coeficientes de transmisión y reflexión.

No obstante, vos me decís que teniendo en cuenta la parte de espín, podemos obtener un estado ligado si $s=3/2$ porque $E=-\frac{\lambda}{2h^2} \delta(x) [s(s+1)-\frac{11}{4}]$ da un valor negativo, mientras que para $s=1/2$ habrá estados de dispersión porque el valor de la energía será positivo.

Mi duda es cómo "unir" estos dos espectros de energía: las energías obtenidas teniendo en cuenta el potencial delta y las energías obtenidas teniendo en cuenta el valor del espín. Por otro lado, una vez que conozca estos espectros y escriba el estado inicial en la base suma de momento angular, qué debo hacer para conocer el estado final del sistema?

Otra cosa que no entiendo es lo que mencionaste de: "[Para $s=3/2$ ] habrá un estado ligado, aparte de ciertos corrimientos de fase a todas las energías positivas". Cómo te diste cuenta de los corrimientos y por qué hay energías positivas, si el único estado tiene asociada una energía negativa?

[carroza]

Hola.

No hay "dos" espectros de energía, una para el espín y otra para el potencial delta. Tienes una interacción que depende del espín. Por tanto, para S=3/2, tienes un potencial delta atractivo, con una profundidad dada, que tiene su espectro de energía (estado ligado más estados del continuo), y para S=1/2 tienes un potencial delta repulsivo, con su espectro de energías (estados del continuo)..

Con respecto a tu ultima cuestión, puedes recordar el pozo cuadrado finito. En el tienes estados ligados, y estados del continuo. En el caso del potencial delta, que es un limite del pozo cuadrado, tienes lo mismo.

saludos

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carroza, creo que entendí. El espín del sistema (3/2 o 1/2) define el signo del potencial. Si S=3/2, el potencial es atractivo; si es S=1/2, es repulsivo. Estos valores solamente cambian el signo y el valor del escalar que multiplica a la delta.

Si el potencial es atractivo, existe un estado ligado (de E<0) y estados de dispersión (de E>0). Por otro lado, si el potencial es repulsivo, solamente existen estados de dispersión.

Para los estados ligados encontramos una expresión "cerrada" para la función de onda y la energía, mientras que para los de dispersión encontramos ondas viajeras cuyos módulos se escriben en términos de los coeficientes de reflexión y transmisión.

Esto es lo que piden los incisos 3 y 4. Correcto?

Suponiendo que eso está bien, ahora quisiera pedirte ayuda con la parte más "dinámica" del ejercicio, es decir, los últimos incisos, que hablan de cómo evoluciona el espín.

[carroza]

Bueno, para calcular 5) y 6) dependerá de la notación que hayais visto en clase.

Entiendo que teneis un problema de colisión monodimensioanl, en la cual la particula proyectil viene por la derecha, dada por una onda plana. Tras la dispersión, tendras una onda reflejada y una transmitida, cada una con sus desfases.

En tu caso, debes acoplar los espines a un espín total, que da la intensidad de la interacción, con lo que tu onda reflejada será una combinación de S=3/2 y de S=1/2, con sus diferentes desfases, y lo mismo para la onda transmitida. Entiendo que para 6) necesitas pasar de nuevo a la base desacoplada, con m_1 y m_2, sumar las contribuciones que vienen de S=3/2 y de S=1/2, calcular la probabilidad de transición como el cuadrado de la amplitud, con lo que tendrás un bonito problema de interferencias.

Total, una buena ocasión para pedir una tutoría a tu profesor, que para eso le pagan.

Un saludo