Normalización y probabilidad

[luisdlr]

Hola a todos,

Estoy intentando volver a aprender cuántica (no la tocaba desde hace muchos años), y he descubierto que mi cabeza ha borrado lo poco que aprendí durante la carrera (Química). La verdad es que nunca se me dio bien, y ahora estoy bastante perdido y bloqueado

El enunciado del ejercicio que estoy intentando resolver es el siguiente:

La función de onda ψ de una partícula que se mueve sobre OX es, en cierto instante:
x + β para -β < x < 0
-x + β para 0 < x < β
Y cero en cualquier otro punto.

¿Cuál es el valor del parámetro β y cuánto vale la probabilidad de que en ese instante la partícula se sitúe entre β/2 y β?

La teoría más o menos la entiendo... Creo que habría que normalizar la función de onda para calcular β, y luego calcular la probabilidad integrando el cuadrado del valor absoluto de la función entre β y β/2 (creo). Sin embargo, en todo lo demás ya me bloqueo... creo que mi cabeza borró todo lo relativo a la cuántica una vez la logré aprobar (tras varios intentos) durante mi etapa universitaria.

Agradecería mucho la ayuda para resolver este ejercicio. Creo que si comprendo este podré realizar por mí mismo otros similares.

Gracias nuevamente, saludos cordiales

[guibix]

[B]La función de onda ψ de una partícula que se mueve sobre OX es, en cierto instante:
x + β para -β < x < 0
-x + β para 0 < x < β
Y cero en cualquier otro punto.

Hola luisdlr,

Para tener una mejor comprensión del problema fíjate que la función es un triángulo con sus vértices en $(-\beta,0), (0,\beta)$ y $(\beta,0)$.

Bien, primero hay que elevar al cuadrado e integrar. Cómo la función es simétrica en x=0, se puede tratar con la mitad y duplicarlo. Esa integral tiene que dar 1, pues es todo el espacio de probabilidad y con eso la función queda normalizada. Tomamos la parte positiva:

$$2\int_{0}^{\beta}(\beta-x)^2\dd x=1$$

Con esto te queda una ecuación con solo $\beta$ y la resuelves para obtener su valor.

Una vez lo tengas vuelves a resolver la integral pero con el valor de $\beta$ en su sitio y los límites de integración que te pide $(\beta/2,\beta)$ y así obtener la probabilidad en dicho intervalo:

$$P=2\int_{\beta/2}^{\beta}(\beta-x)^2\dd x$$

Yo también estoy oxidado pero así es como lo haría yo ahora. A lo mejor me equivoco o me dejo algo pero al menos espero que ayude.

En saludo.

[Alriga]

luisdlr supongo que habrás visto que la integral que propone guibix es muy sencilla de resolver si desarrollas el cuadrado en el integrando:

$\dst \int_{0}^{\beta}(\beta-x)^2\dd x= \beta^2 \int_0^{\beta} \dd x + \int_0^{\beta} x^2 \dd x - 2 \beta \int_0^{\beta} x \dd x=\dfrac{\beta^3}3$

Saludos.