Divulgación Experimento rendija múltiple

[alexpglez]

Hola, llevo varios días dándole vueltas a un experimento mental, con el fin de entender el colapso del vector de estado al ser medido por el observador.

Supongamos que tenemos una rendija múltiple, por simplificar los cálculos digamos que son 4 rendijas. Para nuestro problema tendremos la base vectorial ortonormal $\{|e_i>\}_{i=1}^4$, siendo la función de onda asociada a cada base $\phi_i(x)=<x|e_i>$ con densidad de probabilidad $\pi(x)=\vert \phi(x) \vert^2=<x|\Psi><\Psi|x>$.
Si asumimos que puede pasar por cada rendija con igual de probabilidad entonces:

$$|\Psi>=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4|e_i>$$

Si no ponemos detectores en las rendijas, está claro que la densidad de probabilidad será:

$$\pi _1(x)=<\Psi|x><x|\Psi>$$

Si ponemos un detector en cada rendija, está claro que la función colapsará a cada estado con igual probabilidad $|<e_i|\Psi>|^2=1/4$, por tanto finalmente la densidad de probabilidad:

$$\pi _2(x)=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4<e_i|x><x|e_i>$$

Ahora, se nos ocurre poner dos detectores, uno que detecta si pasa por la rendija 1 o 2, y otro por la 3 o 4. Mi duda es, si el colapso será a un estado mezcla de dos rendijas $|\Psi> \longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|e_1>+|e_2>) \vee \frac{1}{\sqrt{2}}(|e_3>+|e_4>)$ o a una de las posibles de las 4 rendijas $|\Psi> \longrightarrow |e_i>$.
Es decir si la densidad de probabilidad será:

$$\pi_3(x)=\pi_2(x)$$

O:

$$\pi_3(x)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^2<e'_i|x><x|e'_i> \;\;\;\; |e'_1>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|e_1>+|e_2>) \;\;\;\; |e'_2>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|e_3>+|e_4>)$$

Gracias, saludos.

[carroza]

Re: Experimento rendija múltiple

Hola.

Lo primero que me gustaría decir es que, en física cuántica, no hay colapso. Lo que ocurre es que si queremos describir la interacción de un sistema cuántico simple (tu particula con sus rendijas) con un sistema complejo con muchisimos grados de libertad (tu detector), una forma simple e idealizada de evitar introducir todos los grados de libertad del detector es proyectar la función de onda del sistema cuántico simple, sobre una base dada (los autoestados del sistema simple asociados al aparato de medida).

Lo segundo es que, con la condición de que las cuatro rendijas sean equiprobables, la función de onda no es estrictamente la que pones, sino que deberías incluir cuatro fases arbitrarias ante los cuatro estados de la base:

$|\Psi> = 1/2 \sum_i e^{i \theta_i} |e_i>$.

Estas fases, diferentes, juegan un papel importante a la hora de determinar las interferencias.

Si pones detectores en cada una de las cuatro rendijas, y te olvidas de lo que indica cada detector, la densidad de probabilidad de detectar la partícula en una posición x de una pantalla situada tras las rendijas es, efectivamente,

$\rho(x) = 1/4 \sum_i |\phi_i(x)|^2$.

Si no hubieras medido nada, la probabilidad sería
$\rho(x) = 1/4 |\sum_i e^{i \theta_i} \phi_i(x)|^2$

Fijate que en un caso primero haces el modulo cuadrado, y luego sumas (suma incoherente), y en el otro caso primero sumas, y luego haces el modulo cuadrado (suma coherente).

Si mides, y te restringes a los casos en que la particula ha pasado por la rendija 1 (ha saltado el detector 1), la probabilidad es
$\rho(x) = |\phi_1(x)|^2$.


Ahora vamos a tu problema:

Si ahora pones detectores globales para la rendija 1 y 2, y para la 3 y 4, tienes dos casos:

1. Me restrinjo a los casos en que la partícula ha pasado por 1 o 2 :

$\rho(x) = 1/2 |e^{i \theta_1} \phi_1(x) + e^{i \theta_2} \phi_2(x) |^2$.

(suma coherente de las contribuciones de los estados 1 y 2).

2 Mido si la particula ha pasado por 1 o 2, o bien por 3 o 4, pero no tengo en cuenta los resultados.


$\rho(x) = 1/4 (|e^{i \theta_1} \phi_1(x) + e^{i \theta_2} \phi_2(x) |^2 + |e^{i \theta_3} \phi_3(x) + e^{i \theta_4} \phi_4(x) |^2$).


(suma incoherente de las contribuciones de (1y2), por un lado, y de (3 y 4) por el otro

Saludos

[alexpglez]

Re: Experimento rendija múltiple

Proyectar la función de onda del sistema cuántico simple, sobre una base dada (los autoestados del sistema simple asociados al aparato de medida).

Esta línea resume lo que quería preguntar:
Siempre había escuchado lo de proyectar el vector sobre la base de los autovalores del sistema, sin embargo mi duda era si es en todos los posibles o en todos los que se puede medir. Por lo que ahora entiendo mejor cuando has señalado que es a "los autoestados asociados al aparato de medida".

Gracias otra vez