2o ciclo Duda en el uso de kets

[jugarmen]

En el cálculo de la norma del estado $\hat{L}_{+} \left | Y_{l,m} \right \rangle$, siendo $Y_{l,m}$ autoestado normalizado de $\hat{L}^2$ y $\hat{L}_z$ con autovalores respectivos $l(l+1)\hbar^2$ y $m \hbar$, mi duda es la siguiente:

¿Qué propiedad permite escribir $\left \| \hat{L}_{+} \left | Y_{l,m} \right \rangle \right \|=\hbar\sqrt{l(l+1)-m^2-m }=\sqrt{\hat{L}_{-}\hat{L}_{+}}$?

El cálculo es el siguiente. Se tiene en 1er lugar que:

$\left \| \hat{L}_{+} \left | Y_{l,m} \right \rangle \right \|^{2}=\left \langle \hat{L}_{+} Y_{l,m}| \hat{L}_{+} Y_{l,m} \right \rangle=\left \langle Y_{l,m}| \hat{L}_{-} \hat{L}_{+} Y_{l,m} \right \rangle$

Por otro lado:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por lo que finalmente:

$\left \| \hat{L}_{+} \left | Y_{l,m} \right \rangle \right \|=\hbar\sqrt{l(l+1)-m^2-m }$