1r ciclo Bajo que condiciones esto es cero

[HighFlyingBird]

Dado un operador $A\neq0$ y un ket $|\psi>\neq0$, ¿se sigue que $A|\psi>\neq0 \ \ \ \forall |\psi>\neq0$ ?, ¿Es cierto esto?, o bajo que condiciones esto puede ser cero.
Gracias de Antemano!

[alexpglez]

Re: Bajo que condiciones esto es cero

Si se cumple, $A |\psi>=0$, entonces $|\psi>$ está en el núcleo de la aplicación. Si $A=0$ entonces su núcleo es todo el espacio vectorial (la aplicación 0 lleva a todo vector a 0). Pero existen aplicaciones distintas de 0 que tienen núcleo distinto del vector 0, por ejemplo la matriz determinada por la aplicación $f(x_1,x_2)=(x_1+x_2,0)$ (que es A=[1 1; 0 0] ).

Se cumple si y sólo si $A$ es inyectiva, entonces se cumple esa condición. Pues $Ax=Ay$ implica que $A(x-y)=0$ pero si es inyectiva $x=y$ y si tiene el núcleo $\{0\}$ tiene que ser $x-y=0$.

No sé muy bien cómo se aplica en mecánica cuántica. Supongo que cómo los operadores son autoadjuntos (postulado de la mecánica cuántica), entonces son inyectivos:

$$A^tA= I$$

$$Ax=Ay \; \rightarrow \; A^tAx=A^tAy \; \rightarrow x=y$$

Entonces para los operadores (la mayoría) de la mecánica cuántica pasa lo que dices siempre.

Saludos

[carroza]

Re: Bajo que condiciones esto es cero

Entonces para los operadores (la mayoría) de la mecánica cuántica pasa lo que dices siempre.

Hola.

No es correcto. Cualquier operador hermítico que tenga un autovalor cero, cumple que

$A |\psi> = 0$

para ciertos estados $|\psi> \ne 0$. Estos estados son los autoestados de A correspondienes al autovalor cero.

Por ejemplo, el operador carga eléctrica Q, que no es un operador nulo, da cero cuando actua sobre cualquier sistema cuantico con carga neta nula (un neutrón, un neutrino, un átomo de hidrógeno, etc).

Otro ejemplo es el operador $L_z$ (la proyección del momento angular a lo largo del eje z). Da cero sobre cualquier estado $|l m>$, con momento angular l y proyección m=0.

Saludos