1r ciclo Espectro de la energía y normalización

[Lorentz]

Buenas tardes a todos, esperaba que me pudierais echar una mano con unas cuestiones que no me quedan claras

Son principalmente dos cosas:

La primera de ellas tiene que ver con la normalización de estados estacionarios. El tema es el siguiente, en clase se me demostró que si $H \Phi_E (x)=E \Phi_E (x)$ y $\Phi_E$ es normalizable tal que $\left(\Phi_E,\Phi_E\right)=1$ entonces $E$ no puede variar de modo continuo. Pero no sé si es una doble implicación, es decir que pueda asegurar que si el espectro de energías es discreto, sea inmediato que $\Phi_E$ sea normalizable.

La segunda es una cuestión de concepto. Tal y como se me mencionó en clase las funciones de onda normalizables no pueden tener momento (ondas planas) o posición bien definida (delta de Dirac), debido al principio de incertidumbre. Sin embargo, las ondas planas surgen de forma natural al encontrar soluciones de la ecuación de Schrödinger en 1 dimensión con potencial constante (ya sean pozos infinitos, finitos...). Esto me hace preguntarme cuál es la validez de estas ondas planas. ¿Cómo pueden surgir de modo tan natural funciones que en teoría no deberían tener validez? ¿Esto indica que una superposición de ondas planas sí tiene validez física? Tengo un poco de lío.

Un saludo

[alexpglez]

Re: Espectro de la energía y normalización

Buenas tardes a todos, esperaba que me pudierais echar una mano con unas cuestiones que no me quedan claras

Son principalmente dos cosas:

La primera de ellas tiene que ver con la normalización de estados estacionarios. El tema es el siguiente, en clase se me demostró que si $H \Phi_E (x)=E \Phi_E (x)$ y $\Phi_E$ es normalizable tal que $\left(\Phi_E,\Phi_E\right)=1$ entonces $E$ no puede variar de modo continuo. Pero no sé si es una doble implicación, es decir que pueda asegurar que si el espectro de energías es discreto, sea inmediato que $\Phi_E$ sea normalizable.

La segunda es una cuestión de concepto. Tal y como se me mencionó en clase las funciones de onda normalizables no pueden tener momento (ondas planas) o posición bien definida (delta de Dirac), debido al principio de incertidumbre. Sin embargo, las ondas planas surgen de forma natural al encontrar soluciones de la ecuación de Schrödinger en 1 dimensión con potencial constante (ya sean pozos infinitos, finitos...). Esto me hace preguntarme cuál es la validez de estas ondas planas. ¿Cómo pueden surgir de modo tan natural funciones que en teoría no deberían tener validez? ¿Esto indica que una superposición de ondas planas sí tiene validez física? Tengo un poco de lío.

Un saludo

Sobre la primera pregunta, quizá te ayude a entender el artículo de wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Espectro_de_un_operador
En espacios de dimensión finita dada una aplicación lineal puedes obtener vectores y valores propios. Pero en dimensión infinita pueden no existir tales vectores y valores propios, si no una sucesión de vectores que en el límite se cumple la ecuación vector-valor propio.
Por ejemplo, si se resuelven ecuaciones del valor propio del momento, tenemos como "solución" ondas planas. Pero éstas no son de cuadrado integrable, por tanto no pertenecen al espacio vectorial $L^2$. Es por ello que si intentas "normalizarlas", no puedes...

Sobre la segunda, que yo conozca, las funciones de onda en mecánica cuántica pertenecen a $L^2$ pero ni las ondas planas, ni la delta de Dirac pertenecen a tal espacio. No sabría responderte por qué $L^2$ y que significado físico tienen estas "soluciones", más allá de quizá una aproximación. Una superposición de ondas puede tener validez física o no, dependiendo de si cada contribución es solución a la ecuación de Schrödinger, y si la superposición está en $L^2$.

Aunque no sé mucho más, no puedo responder más allá de esta pequeña introducción.

PD: ¿Habéis visto bien en clase espacios de dimensión infinita y clasificación del espectro? Los problemas que planteas son más bien matemáticos, exceptuando la cuestión sobre la modelización de funciones de onda por $L^2$

[Lorentz]

Re: Espectro de la energía y normalización

Buenos días Alex

Sobre la primera pregunta, quizá te ayude a entender el artículo de wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Espectro_de_un_operador
En espacios de dimensión finita dada una aplicación lineal puedes obtener vectores y valores propios. Pero en dimensión infinita pueden no existir tales vectores y valores propios, si no una sucesión de vectores que en el límite se cumple la ecuación vector-valor propio.
Por ejemplo, si se resuelven ecuaciones del valor propio del momento, tenemos como "solución" ondas planas. Pero éstas no son de cuadrado integrable, por tanto no pertenecen al espacio vectorial . Es por ello que si intentas "normalizarlas", no puedes...

Gracias por la respuesta, pero no era eso lo que preguntaba, sino si lo que mencioné:

El tema es el siguiente, en clase se me demostró que si y es normalizable tal que entonces no puede variar de modo continuo. Pero no sé si es una doble implicación, es decir que pueda asegurar que si el espectro de energías es discreto, sea inmediato que sea normalizable.

¿Es una doble implicación o una implicación simple?

Sobre la segunda, que yo conozca, las funciones de onda en mecánica cuántica pertenecen a pero ni las ondas planas, ni la delta de Dirac pertenecen a tal espacio. No sabría responderte por qué y que significado físico tienen estas "soluciones", más allá de quizá una aproximación. Una superposición de ondas puede tener validez física o no, dependiendo de si cada contribución es solución a la ecuación de Schrödinger, y si la superposición está en .

Sí, por lo general según tengo entendido las funciones pertenecen al espacio de funciones de cuadrado integrable, pero esas dos funciones (ondas planas y delta de Dirac) tienen aplicaciones en modelización de ciertos problemas, según me pareció entender. De este modo aunque no pertenezcan como tal al espacio de Hilbert $\mathcal{L}_2$ sí que son de utilidad.
De ahí viene mi pregunta, si no pertenecen al espacio de Hilbert ¿Cómo pueden surgir de forma tan natural de la ecuación de Schrödinger en una dimensión con potencial constante? Y también ¿Qué utilidades tienen?

Aunque no sé mucho más, no puedo responder más allá de esta pequeña introducción.

No te preocupes, agradezco el interés.

PD: ¿Habéis visto bien en clase espacios de dimensión infinita y clasificación del espectro? Los problemas que planteas son más bien matemáticos, exceptuando la cuestión sobre la modelización de funciones de onda por

Aún no, y dudo que lo demos este año. Actualmente estoy cursando Física Cuántica I, supongo que más adelante se nos introducirá más en las cuestiones técnicas.
Lo que hemos dado es introducción al formalismo con espacios de Hilbert de dimensión finita y con menciones a los de dimensión infinita señalando que la cuestión de convergencia de las sucesiones de Cauchy ya no es "trivial", pero que sin embargo todo espacio prehilbertiano se puede completar simplemente añadiendo los límites de las citadas sucesiones.

Un saludo

[alar]

Re: Espectro de la energía y normalización

Las ondas planas se interpretan como flujos de partículas en una dirección. Cuando veas barreras de potencial verás que hay partículas que pueden saltar esa barrera, pues si consideramos estas soluciones como flujos de partículas lanzadas contra esa barrera podemos calcular los coeficientes de reflexión y transmisión, es decir, el porcentage de partículas que pasarían y el porcentaje de partículas que rebotarían.

Y con estas soluciones podemos construir estados como gaussiana que ya es un estado normalizable e interpretable con tener una partícula en un sitio de forma más o menos precisa.

[Lorentz]

Re: Espectro de la energía y normalización

Hola alar, gracias por contestar

Cuando veas barreras de potencial verás que hay partículas que pueden saltar esa barrera, pues si consideramos estas soluciones como flujos de partículas lanzadas contra esa barrera podemos calcular los coeficientes de reflexión y transmisión, es decir, el porcentage de partículas que pasarían y el porcentaje de partículas que rebotarían.

Esos coeficientes los calculaba a partir de las corrientes de probabilidad, pero no me habían impuesto restricciones de que fueran ondas planas para ello. Usaba esta expresión:

$\vec{j}=-\frac{i \hslash}{2m} \left( \Phi^* \nabla{\Phi}-\Phi \nabla{\Phi^*} \right)$

¿Cómo se construyen esas gaussianas?

Un saludo