1r ciclo Duda sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para dos partículas

[Raffel]

La ecuacion de Schrödinger independiente del tiempo para dos partículas no interactivas es:

$-\frac{\hbar}{2m}\frac{{\partial}^{2} \psi({x}_{1},{x}_{2})}{\partial {{x}_{1}}^{2}} -\frac{\hbar}{2m}\frac{{\partial}^{2} \psi({x}_{1},{x}_{2})}{\partial {{x}_{2}}^{2}} = E\psi({x}_{1},{x}_{2})$

Voy a estudiar el caso del pozo rectangular infinito, con $U(x) = 0$ en $\left\{ 0,L \right\}$

Una solución posible que encuentro es $A\sin(\frac{\pi{x}_{1}}{L})\sin(\frac{2\pi{x}_{2}}{L})$ eligiendo los números cuánticos 1 y 2 respectivamente.

Tengo entendido que esta solución no es válida porque no es simétrica ni antisimétrica, ya que no cumple ${\left( \psi({x}_{1},{x}_{2}) \right)}^{2} = {\left( \psi({x}_{2},{x}_{1}) \right)}^{2}$, asi que por ejemplo si se tratara de dos fermiones lo correcto sería escribir $A'\left( \sin(\frac{\pi{x}_{1}}{L})\sin(\frac{2\pi{x}_{2}}{L})-\sin(\frac{\pi{x}_{2}}{L})\sin(\frac{2\pi{x}_{1}}{L}) \right)$ para que sea antisimétrica.

Mi pregunta es, ¿por qué es necesaria la condición ${\left( \psi({x}_{1},{x}_{2}) \right)}^{2} = {\left( \psi({x}_{2},{x}_{1}) \right)}^{2}$?

${\left( \psi({x}_{1},{x}_{2}) \right)}^{2}\dd{x}_{1}\dd{x}_{2}$ me indica la probabilidad de encontrar la partícula con el estado cuántico 1 entre ${x}_{1}$ y ${x}_{1} +\dd{x}_{1}$ a la vez que la partícula con el estado cuántico 2 entre ${x}_{2}$ y ${x}_{2} +\dd{x}_{2}$
Me resulta obvio que si etiqueto al revés, es decir ${x}_{1}$ con el estado cuántico 2 y ${x}_{2}$ con el estado cuántico 1 la probabilidad ${\left( \psi({x}_{2},{x}_{1}) \right)}^{2}\dd{x}_{1}\dd{x}_{2}$ no tiene porqué ser la misma que calculando ${\left( \psi({x}_{1},{x}_{2}) \right)}^{2}\dd{x}_{1}\dd{x}_{2}$

¿Cuál es el error en mi razonamiento?

[arivasm]

Re: Duda sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para dos partículas

Por contribuir y a falta de que alguien con más conocimientos confirme o desmienta lo que cuento.

Entiendo que el problema que planteas se refiere a dos partículas *idénticas*. Si no es así, no es necesario que la función de onda sea simétrica o antisimétrica *respecto del intercambio de partículas*. Obviamente, dicho intercambio viene representado matemáticamente por el intercambio de las variables que determinan la posición de cada partícula. Por ello, simétrica respecto del intercambio de partículas implica que $\psi(x_1,x_2)=\psi(x_2,x_1)$, mientras que antisimétrica implica que $\psi(x_1,x_2)=-\psi(x_2,x_1)$, situaciones ambas que se pueden agrupar en $[\psi(x_1,x_2)]^2=[\psi(x_2,x_1)]^2$

En definitiva, salvo que tu duda sea otra, el fallo estaría en no tomar en consideración que las dos partículas son idénticas, de manera que no hay forma de distinguir cuál es cuál. Por otra parte, respecto de lo que indicas al final, ten en cuenta que el estado cuántico no es de las partículas, sino del sistema, formado por ambas.

[carroza]

Re: Duda sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para dos partículas

${\left( \psi({x}_{1},{x}_{2}) \right)}^{2}\dd{x}_{1}\dd{x}_{2}$ me indica la probabilidad de encontrar la partícula con el estado cuántico 1 entre ${x}_{1}$ y ${x}_{1} +\dd{x}_{1}$ a la vez que la partícula con el estado cuántico 2 entre ${x}_{2}$ y ${x}_{2} +\dd{x}_{2}$
Me resulta obvio que si etiqueto al revés, es decir ${x}_{1}$ con el estado cuántico 2 y ${x}_{2}$ con el estado cuántico 1 la probabilidad ${\left( \psi({x}_{2},{x}_{1}) \right)}^{2}\dd{x}_{1}\dd{x}_{2}$ no tiene porqué ser la misma que calculando ${\left( \psi({x}_{1},{x}_{2}) \right)}^{2}\dd{x}_{1}\dd{x}_{2}$

¿Cuál es el error en mi razonamiento?

Hola. En un estado de dos particulas, como el que describes con $\psi(x_1,x_2)$ no hay "dos" estados cuánticos. Hay "un" estado cuántico, que depende de "dos" variables.

${\left( \psi({x}_{1},{x}_{2}) \right)}^{2}\dd{x}_{1}\dd{x}_{2}$ te indica la probabilidad de encontrar una partícula entre $x_1$ y $x_1+ d x_1$, y la otra ente
$x_2$ y $x_2+ d x_2$. Si las particulas son indistinguibles, obviamente esto debe ser simétrico frente al intercambio de $x_1$ y $x_2$

Saludos

[Raffel]

Re: Duda sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para dos partículas

A ver si me ha quedado claro. Voy a usar en este ejemplo electrones. Si uno de mis electrones tiene de energía $1\frac{{h}^{2}}{8m{L}^{2}}$ (n=1) y el otro $4\frac{{h}^{2}}{8m{L}^{2}}$ (n=2) entonces estoy distinguiendo a los electrones y la solución de la función de onda debe ser:

$A\sin(\frac{\pi{x}_{1}}{L})\sin(\frac{2\pi{x}_{2}}{L})$

Sin embargo si sé que mis dos electrones tienen $5\frac{{h}^{2}}{8m{L}^{2}}$ de energía pero no se cuánto tiene cada uno entonces la solución que debo usar es:

$A'\left( \sin(\frac{\pi{x}_{1}}{L})\sin(\frac{2\pi{x}_{2}}{L})-\sin(\frac{\pi{x}_{2}}{L})\sin(\frac{2\pi{x}_{1}}{L}) \right)$

¿Correcto?

[carroza]

Re: Duda sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para dos partículas

A ver si me ha quedado claro. Voy a usar en este ejemplo electrones. Si uno de mis electrones tiene de energía $1\frac{{h}^{2}}{8m{L}^{2}}$ (n=1) y el otro $4\frac{{h}^{2}}{8m{L}^{2}}$ (n=2) entonces estoy distinguiendo a los electrones y la solución de la función de onda debe ser:

$A\sin(\frac{\pi{x}_{1}}{L})\sin(\frac{2\pi{x}_{2}}{L})$

No. El hecho que sepas que hay un electron con una energía y el otro con otra, no te permite discernir entre los electrones. La función de onda genérica que cumple que un electron tiene E=1, en tus unidades, y el otro tiene E=4, es

$A \sin(\pi x_1/L) \sin(2 \pi x_2/L) + B\sin(\pi x_2/L) \sin(2 \pi x_1/L)$ ,

con A y B arbitrarios (sujetos a la condicion de normalización). Fijate que no puedes decir que el electron 1 es el que tiene E=1, y el electrón 2 es el que tiene E=4. Puede ser al revés, o que estén en cualquier combinación dada por la expresión anterior.

Cuando tienes en cuenta el hecho de que los electrones son fermiones, y te olvidas del espín (cosa bastante grave para un fermión, pero bueno), unicamente puedes aceptar funciones completamente antisimétricas, como

$A' ( \sin(\pi x_1/L) \sin(2 \pi x_2/L) - \sin(\pi x_2/L) \sin(2 \pi x_1/L) )$ ,

Saludos

[Raffel]

Re: Duda sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para dos partículas

No. El hecho que sepas que hay un electron con una energía y el otro con otra, no te permite discernir entre los electrones. La función de onda genérica que cumple que un electron tiene E=1, en tus unidades, y el otro tiene E=4, es

$A \sin(\pi x_1/L) \sin(2 \pi x_2/L) + B\sin(\pi x_2/L) \sin(2 \pi x_1/L)$ ,

con A y B arbitrarios (sujetos a la condicion de normalización). Fijate que no puedes decir que el electron 1 es el que tiene E=1, y el electrón 2 es el que tiene E=4. Puede ser al revés, o que estén en cualquier combinación dada por la expresión anterior.

Cuando tienes en cuenta el hecho de que los electrones son fermiones, y te olvidas del espín (cosa bastante grave para un fermión, pero bueno), unicamente puedes aceptar funciones completamente antisimétricas, como

$A' ( \sin(\pi x_1/L) \sin(2 \pi x_2/L) - \sin(\pi x_2/L) \sin(2 \pi x_1/L) )$ ,

Saludos

Pero puesto que he considerado que son dos partículas no interactivas podría resolver la ecuación de Schrödinger para cada una ellas por separado y obtener [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Entonces usando un razonamiento probabilístico obtengo que la función de onda para las dos es Esta no es la función de onda antisimétrica. ($A = {A}_{1}{A}_{2}$)
¿Pero por qué es necesario que las dos no se tienen que distinguir? ¿No es contradictorio con lo que acabo de escribir?

[arivasm]

Re: Duda sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para dos partículas

¿Pero por qué es necesario que las dos no se tienen que distinguir?

¿Cuál es exactamente el enunciado del problema que quieres resolver? ¿Se trata de dos partículas idénticas o no?

[carroza]

Re: Duda sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para dos partículas

Pero puesto que he considerado que son dos partículas no interactivas podría resolver la ecuación de Schrödinger para cada una ellas por separado y obtener [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Entonces usando un razonamiento probabilístico obtengo que la función de onda para las dos es

Hola. Quizás debieras explicar en qué consiste el "razonamiento probabilístico". Si hablamos de los métodos que habitualmente se usan en mecánica cuántica, la solución general para el problema en que una partícula tiene energia 1 y otra tiene energía 4, es la que te puse anteriormente, con sus coeficientes A y B.

Saludos

[Raffel]

Re: Duda sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para dos partículas

¿Cuál es exactamente el enunciado del problema que quieres resolver? ¿Se trata de dos partículas idénticas o no?

Quiero saber cuando se emplea como solución de onda , o bien o bien como comento Carroza

¿Por ejemplo si tengo dos partículas que si son idénticas, pero tienen energías distintas cual de las 3 debo emplear?

Hola. Quizás debieras explicar en qué consiste el "razonamiento probabilístico". Si hablamos de los métodos que habitualmente se usan en mecánica cuántica, la solución general para el problema en que una partícula tiene energia 1 y otra tiene energía 4, es la que te puse anteriormente, con sus coeficientes A y B.

Saludos

El razonamiento probabilístico del que hablo es que puesto que son dos partículas que puedo resolver por separado y ${{\psi}_{1}}^{2 }({x}_{1})\dd{x}_{1}$ , [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es la probabilidad de encontrar cada una por separado entre y y entre y respectivamente entonces la probabilidad de encontrar a las dos simutáneamente en esas regiones es ${{\psi}_{1}}^{2}({x}_{1}){{\psi}_{2}}^{2}({x}_{2})\dd{x}_{1}\dd{x}_{2}$ es decir $P(A)\cap P(B) = P(A)P(B)$

[arivasm]

Re: Duda sobre la solución de la ecuación de Schrödinger para dos partículas

Si las partículas son idénticas y fermiones entonces la función de onda debe ser antisimétrica, $A [\sin(\pi x_1 /L)\sin(2\pi x_2/L)-\sin(\pi x_2 /L)\sin(2\pi x_1/L)]$ (olvidándose del espín, como dice Carroza). Si son idénticas y bosones entonces debe ser simétrica, $A [\sin(\pi x_1 /L)\sin(2\pi x_2/L)+\sin(\pi x_2 /L)\sin(2\pi x_1/L)]$. Si no son idénticas entonces no debe satisfacer ninguna simetría de intercambio, de manera que puede ser $A \sin(\pi x_1 /L)\sin(2\pi x_2/L)$ o $A \sin(2\pi x_1 /L)\sin(\pi x_2/L)$ dependiendo de cuál sea el estado del sistema.