Otras carreras Ejercicio de adición de momentos angulares

[Dinog]

Hola a todos,
Estoy teniendo problemas con el siguiente ejercicio, ya que no se si lo estoy abordando bien, el enunciado dice:

Obtener los autovectores de $J_1^2 , J_2^2 , J^2 y J_z$ como combinación lineal de los autovectores de $J_1^2 , J_2^2 , J_1z y J_2z$ con $j_1=1 ,j_2=1/2$ . Obtener los coeficientes de Glebsch-Gordan correspondientes.

No sé si para obtener los autovectores se puede hacer de forma matricial fácilmente o si tengo que aplicar sucesivamente $J_-$. En cuanto a los coeficientes de Glebsch-Gordan no entiendo como se hacen, no sé si me pueden recomendar de algún sitio donde se explique como se hace.

Si me pueden echar una mano se lo agradezco.
Muchas gracias

[alar]

Re: Ejercicio de adición de momentos angulares

Los Coeficientes de Glebsch Gordan son sólo los coeficientes que pasan de una base a la otra.
Te lo pongo en general pero el procedimiento siempre es el mismo.
Es fácil ver que $|J=J_{max},M=J>=|j_{1},m_{1}=j_{1}>|j_{2},m_{2}=j_{2}>$ Es decir el estado con el momento angular máximo $M=J$ es el producto tensorial de los kets con mayor valor para $J_{z}$, algo lógico. Aquí $J=j_{1}+j_{2}=m_{1max}+m_{2max}$.
Ahora con el operador escalera $J_{-}=J_{1-}+J_{2-}$ pues bajar el valor de M, sabes que $J_{-}|J,M>=\hbar \sqrt{J(J+1)-M(M-1)}|J,M-1>$
Así que a lo que ya tenemos $J_{-}|J,J>=\hbar \sqrt{J(J+1)-J(J-1)}|J,J-1>$ y $J_{-}|J,J>=J_{1-}+J_{2-}|j_{1},j_{1}>|j_{2},j_{2}>=\hbar \sqrt{j_{1}(j_{1}+1)-j_{1}(j_{1}-1)}|j_{1},j_{1}-1>|j_{2},j_{2}>$+$\hbar \sqrt{j_{2}(j_{2}+1)-j_{1}(j_{2}-1)}|j_{1},j_{1}>|j_{2},j_{2}-1>$. Y ahora sólo has de aislar y ya tienes |J,M-1>. Repitiendo el proceso con el operador ladder consigues todos los kets con $J=J_{max}$. Ahora nos interesa bajar la J a J-1, también es fácil convencerse que:
$|J-1,J-1>=c_{1}|j_{1},j_{1}-1>|j_{2},j_{2}>+c_{2}|j_{1},j_{1}>|j_{2},j_{2}-1>$.
Tanto $|J,J-1>$ y $|J-1,J-1>$ están en el mismo subespacio con M=J-1 por lo tanto son ortogonales $<J,J-1|J-1,J-1>=0$.
Y repetir lo mismo para encontrarlos todos.

[Dinog]

Re: Ejercicio de adición de momentos angulares

Muchas gracias por su repuesta.
Entonces si no entiendo mal, para el caso $j_1=1 , j_2=1/2$ quedaría así: (no sé si la notación es correcta)
$J_m= 3/2$y $M=-3/2,-1/2,1/2,3/2$
$|3/2,3/2>=|1,m_1=1>|1/2,m_2=1/2>=|1,1/2;1,1/2>$
y para $M-1: |3/2,1/2>=sqrt(2/3)|1,1/2;0,1/2> + sqrt(1/3)|1,1/2;1,-1/2>$
Entonces estos serían los primeros autovectores para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]