Avanzado Espacios de Hilbert, ¿por qué?

[alexpglez]

Todos sabemos que en mecánica cuántica se usan tradicionalmente los espacios de Hilbert, ya que permiten un tratamiento probabilístico que permite a las variables no conmutar. Pero en general cualquier álgebra no conmutativa hace eso por nosotros.

Para los que lean esto y no sepan lo que es un álgebra. Un álgebra sobre un cuerpo $\mathbb K$ es un 4-lista $(A,+,\cdot, \cdot)$ donde $(A,+,\cdot)$ es un espacio vectorial y el último producto (que por abuso de notación se le denota igual) es una operación binaria $\cdot: A\times A \longrightarrow A$ que:

$$x(y+z)=xy+xz \;\;\; (x+y)z=xz+xy \;\; \forall xyz \in A$$

$$(\alpha x)y=x(\alpha y)=\alpha (xy) \;\; \forall \alpha \in \mathbb K \; \forall xy \in A$$

No obstante, puede tener propiedades extra como que exista sea asociatvo, tenga elemento neutro, sea un álgebra de división o conmutativa. Para que tenga jugo el asunto vamos a suponer que sea asociativa y tenga elemento neutro.

Cuando $\mathbb K \subset \mathbb C$, tiene su interés las álgebras en las que se define una operación que cumple:

$$(\lambda x + y)^*=\lambda^* x^* + y^* \;\; \lambda \in K \;\; xy \in A$$

$$(x^*)^*=x$$

$$(xy)^*=y^*x^*$$

Donde $\lambda^*$ es el conjugado complejo de $\lambda$.

Diremos que el álgebra es de normada si hay definida una norma $||.||$ que cumple:

$$||xy|| \leq ||x|| ||y||$$

$$||x^* ||=||x||$$

Donde la segunda igualdad se cumple en caso de definir la operación estrella. Y decimos que es de Banach si el espacio es completo con esta norma.

Es útil el de las álgebras $\mathbb C ^*$ de Banach. Como ejemplo de este tipo de álgebra tenemos los operadores acotados de un espacio de Hilbert. Con la composición como multiplición, la norma $||A||=sup_{||\phi||=1} ||A\phi||$, y la operación [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] dada por la relación [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Hay un teorema que dice que toda álgebra $C^*$ de Banach, se puede meter dentro del álgebra de los operadores acotados de un espacio de Hilbert. Os dejo el enlace del pdf original de Gelfand. http://www.mathnet.ru/links/dab8a720...575/sm6155.pdf

Se basa en la construcción de estados. Un estado es una función lineal $f : A \longrightarrow \mathbb C$ tal que:

$$f(x^*)=f(x)^*$$

$$f(x^* x) \in R^+ \cup {0}$$

$$f(1)=1$$

Una observación rápida es que casi define un producto escalar $(a,b)=f(a^* b)$, sólo que puede que existan $x \not =0$ tal que $f(x^*x)=0$. La prueba del teorema usa esta observación, ya que matemáticamente a partir de $A$ y $I=\{ a \in A | (a,a)=0 \}$ se puede construir un espacio con producto escalar (el conjunto cociente) y completarlo, dando un espacio de Hilbert, y posteriormente se hace una suma directa.



Lo que querría preguntar, es ¿por qué un espacio de Hilbert?, ¿no podríamos utilizar cualquier álgebra e imponer las relaciones de conmutación?. Por otra parte, los operadores posición y momento no están acotados luego no se puede aplicar este teorema a la ligera. ¿Cómo se soluciona el problema de la no acotación?

Mi intuición me dice que tendría que ser válida la mecánica cuántica en cualquier álgebra que cumpla las relaciones de conmutación de la mecánica cuántica. Pero de ser cierto esto, debería haber un isomorfismo con el espacio de Hilbert usual con el que trabajan los físicos.

Saludos