Avanzado ¿Qué significa la derivada de un operador?

[alexpglez]

Sea $X:\mathbb R \longrightarrow O(H)$ una función de los reales a operadores lineales en un espacio de Hilbert. ¿Qué es el significado de derivar $\frac{dX}{dt}$?

Me explico, un matemático buscaría una norma en $O(H)$ para definir posteriormente la derivada. Pero resulta que si consideramos espacios de Hilbert de dimensión infinita, aparecen operadores no acotados, y por tanto no se puede encontrar una norma para definir el concepto de derivada.

Sospecho que los físicos hacéis el siguiente amaño a la definición: $L: \mathbb R \longrightarrow O(H)$ es la diferencial en el punto $t_0 \in \mathbb R$ si es lineal y $\forall \psi \in H$

$$\lim_{h \to 0} (\psi, \; \frac{X(t_0+h)-X(t_0)-L(h)}{h} \; \psi)=0$$

¿Es así?

¿Cuál sería la definición para funciones $V: O(H) \longrightarrow O(H)$, esto es, funciones como la energía potencial $V(X)$ que dependen del operador posición?

Gracias, saludos.

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PD: Tengo una duda para los matemáticos del foro. ¿Habría alguna estructura similar a la de los espacios y las álgebras de Banach para la cuál definir una topología y posteriormente el concepto de diferenciación, inducida posiblemente por un conjunto de seminormas?
Estaba pensando en las seminormas que definen cada vector $\psi \in H$: $\rho(A)=(A\psi,A\psi)$ o $\rho(A)=||(\psi,A\psi)||$ (donde $||.||$ es el módulo del número complejo). Pero estas dos seminormas que he propuesto no son submultiplicativas, no cumplen que $\rho(AB)\leq\rho(A)\rho(B)$, propiedad bastante importante.