1r ciclo Relaciones de Indeterminación Energía - tiempo y Momento angular - ángulo

[Fortuna]

Muy ilustrativo el tema y en especial las explicaciones de Julián, que a través del enlace proporcionado por arivasm da comprensión al principio de incertidumbre de Heisenberg.
Una cosa que nunca entendí fue como se llega al principio de indeterminación $\Delta E \Delta T \approx \hbar.$.
Por otra parte sé que las componentes perpendiculares del momento angular y su valor absoluto están cuantizadas, pero ¿Existe otro teorema de incertidumbre para el momento angular-ángulo del estilo $\Delta L _z\Delta \varphi \approx \hbar$?
Sé que si dos operadores cuánticos no conmutan entonces se da la relación de incertidumbre, pero no acabo de saber si eso es un teorema o un postulado y si es teorema si se llega también por el mismo motivo de las transformadas de Fourier.

Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: Relaciones de Indeterminación Energía - tiempo y Momento angular - ángulo

… Una cosa que nunca entendí fue como se llega al principio de indeterminación $\Delta E \Delta T \approx \hbar$

Para el caso no relativista, (v << c) hay una demostración sencilla de la relación de incertidumbre Energía - tiempo, puesto que podemos expresar la energía y el momento lineal como

$E=\dfrac 1 2 m v^2$

$p=m v$

Combinando ambas expresiones

$E=\dfrac{p^2}{2m}$

$\Delta E=\dfrac{2 p \Delta p}{2 m}=\dfrac{m v \Delta p}{m}=v \Delta p$

$$\Delta E=v \Delta p$$

Por otro lado

$t=\dfrac x v$

$$\Delta t=\dfrac{\Delta x} v$$

Multiplicando miembro a miembro (1) por (2) se obtiene

$\Delta E \cdot \Delta t=\Delta p \cdot \Delta x$

Y como sabemos que

$$\Delta p \cdot \Delta x \geq \dfrac{\hbar}2$$

Entonces también

$$\Delta E \cdot \Delta t \geq \dfrac{\hbar}2$$

c.q.d.

… Por otra parte sé que las componentes perpendiculares del momento angular y su valor absoluto están cuantizadas, pero ¿Existe otro teorema de incertidumbre para el momento angular - ángulo del estilo $\Delta L _z\Delta \varphi \approx \hbar$?

ACTUALIZADO: Se me acaba de ocurrir que para un movimiento circular uniforme no relativista, llamando "s" al arco, la relación de incertidumbre habitual se escribe:

$$\Delta p \cdot \Delta s \geq \dfrac{\hbar}2$$

Como la velocidad es perpendicular al radio R de la circunferencia:

$L=m v R=p R$

$\Delta L=R \Delta p$

$$\Delta p=\dfrac{\Delta L}R$$

El ángulo cumple:

$\phi=\dfrac s R$

$\Delta \phi=\dfrac{\Delta s} R$

$$\Delta s=R \Delta \phi$$

Luego multiplicando miembro a miembro (3) por (4):

$\Delta p \cdot \Delta s =\dfrac{\Delta L}R R \Delta \phi$

$\Delta p \cdot \Delta s =\Delta L \cdot \Delta \phi$

Y por lo tanto

$$\Delta L \cdot \Delta \phi \geq \dfrac{\hbar}2$$

c.q.d.

Pero según parece la demostración para el caso general no es trivial: Uncertainty relation between angle and orbital angular momentum: interference effect in electron vortex beams

Saludos.

[arivasm]

Re: Relaciones de Indeterminación Energía - tiempo y Momento angular - ángulo

Una cosa que nunca entendí fue como se llega al principio de indeterminación $\Delta E \Delta T \approx \hbar.$.

Atención porque esa relación no tiene el mismo origen que las relaciones de incertidumbre coordenada-momento, de las que son un caso particular las de posición-momento y también ángulo-momento angular.

En esencia la idea está en que el tiempo no es una coordenada que posea un operador asociado. Sobre este tema, que ya apareció en el foro con anterioridad, puede leerse por ejemplo aquí: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=57064305

[Fortuna]

Re: Relaciones de Indeterminación Energía - tiempo y Momento angular - ángulo

Gracias a los dos por responder.

Según al artículo las relaciones de incertidumbre de Heisenberg aparecen vinculadas a la relación de conjugación existente entre ciertos pares de cantidades físicas. Dicha conjugación es usualmente entendida como debida al hecho de que ciertos pares de magnitudes que intervienen en la formulación de la teoría se encuentran relacionadas mediante la transformada de Fourier y de aquí se deduce la relación de Heisenberg:

$\Delta E \Delta t\ge \dfrac{\hbar}{\hbar}$

Por eso me pareción tan importante lo que explicó Julian

¿Como vas a limitar el momento o la posición? Para eso deberías modificar c

La función es independiente del tiempo.

$\dst \psi (x) * {\psi}^{*} (x) = A*exp(- \frac{{(x-b)}^{2}}{2{c}^{2}})$

$\dst \psi (x) = \frac{A}{\sqrt{2}} (exp(- \frac{{(x-b)}^{2}}{2{c}^{2}}) + i exp(- \frac{{(x-b)}^{2}}{2{c}^{2}}))$

[ATTACH=CONFIG]13272[/ATTACH]

$\dst \psi (x) ={\int}_{- \infty}^{\infty} \frac{ ((1 + i) {e}^{(-(1/2) \beta (-2 i+ \beta)}}{\sqrt{2}}* {e}^{i \beta x} d \beta$

Es decir, $\psi(x)$ puede ser expresada como una combinación lineal de exponenciales complejas ${e}^{i \beta x}$, donde cada una tiene un peso de $\frac{ ((1 + i) {e}^{(-(1/2) \beta (-2 i+ \beta)}}{\sqrt{2}}$

Como cada ${e}^{i \beta x}$ es ortonormal para todo beta, constituye la base de un espacio de hilbert.

$\beta = \frac{2 \pi}{\lambda}$ es el número de onda.

$\dst \frac{ ((1 + i) {e}^{(-(1/2) \beta (-2 i+ \beta)}}{\sqrt{2}} |{e}^{i \beta x}>$

y sabemos gracias a deBroile que

$\dst p = \frac{h}{\lambda} = \frac{ \beta h}{2 \pi} =\hbar \beta$

Como en la combinación lineal $\beta$ está definido desde $(-\infty, \infty)$ Existen infinidad de momentos PERO como puedes ver en la gráfica, los pesos de la combinación lineal $\frac{ ((1 + i) {e}^{(-(1/2) \beta (-2 i+ \beta)}}{\sqrt{2}}$ tienen mayor valor para un cierto rango de números de onda.

Que pasa si a $c->0$. Ahora tomo c=0.01 en vez de 1

[ATTACH=CONFIG]13273[/ATTACH]

Vemos como hay una mayor densidad y por lo tanto

[ATTACH=CONFIG]13274[/ATTACH]

Vemos como los pesos de la la combinación lineal, es decir "el contenido armónico espacial" cambia de densidad, por lo que más localizado el electrón menos localizado el momento (que depende de beta)

Por último hagamos $c \to \infty$. Tomo c=100

[ATTACH=CONFIG]13275[/ATTACH]

Vemos lo inverso, cuanto menos localizado el electrón, más localizado el rango de beta y por lo tanto de momentos.

PD: La ultima gráfica tiene esa magnitud debido a que el rango está entre -10 y 10. Si lo achico a -0.01 a 0.01

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Se ve como beta está mas localiza entre -0.01 a 0.01 y tiene más peso en c=100, a diferencia de c=1 (cuyo rango de momentos lo podemos considerar entre $[ -2 \hbar, 2 \hbar ]$) o c=0.01 (cuya rango de momentos lo podemos considerar entre $[ -5 \hbar , 5 \hbar]$

Y además, que no existe ningún operador mecánico-cuántico que defina el tiempo, pues éste siempre es un parámetro. (Creo que la posición no lo es puesto que cuando hablamos de de pociones en el espacio y para cada valor de t existen infinitas valores para la posición)

Otro aspecto que indica que texto mencionado es que el argumento de que "se puede violar el principio de conservación de la energía mientras se verifique la relación de Heisenberg" es una falacia. Este argumento se utiliza mucho como explicación para justificar las partículas virtuales.
¿Debe entenderse entonces que el vacío, con su función de onda, el espectro de la distribución de las componentes de energía que conforman dicho paquete de ondas esta dado por su transformada de Fourier?, y de ahí que ¿las desviaciones de dichas cantidades lleva a la existencia de partículas virtuales?.

El tema de la partículas virtuales es un poco confuso, antes de formular preguntas, miraré un poco por el foro, a ver si encuentro respuestas.

@arivasm Gracias por por la explicación, imaginaba que por ahí iban los tiros, aunque efectivamente, el tema es mucho más complicado, como indicas.

Un saludo.