1r ciclo demostracion funcion fisica

[angelica]

ayuda: tengo que demostrar que el limite de la funcion de gauss es igual a la funcion delta dirac. ¿donde puedo encontrar informacion sobre esta demostracion?

[carroza]

Re: demostracion funcion fisica

Hola. Simplemente, piensa qué es una delta de dirac:

$\delta(x-x_0)$ es una función de x cuya integral es uno, y que toma valores nulos en todos los puntos salvo en x_0.

Ahora, basta demostrar que la gaussiana, normalizada adecuadamente, tiene integral uno, y que, en el límite de anchura muy pequeña, tiene valores nulos salvo para x=x_0.

Hay otras muchas funciones (por ejemplo la funcion de bessel ) que tienen como límite la delta. Basta mostrar que están localizadas en torno a un valor y que su integral el 1.

Por cierto esta es una de las funciones usamos muchísimo los físicos pero que generan sarpullidos a los matemáticos. Dicen, con razón, que no es realmente una función, sino un límite de muchas familias de funciones.

[Jose D. Escobedo]

Re: demostracion funcion fisica

Primero tienes que indentificar que la funcion de Gauss es:

$f(x) = Ae^{-x^2}$

Luego te preguntas si puedes construir funciones de Gauss que crescan en eje de las "y's" cuando x=0, y que al mismo tiempo la funcion se adelgace en el eje de las "x's".

Ahora haciendo una sucesion de funcines $f_n(x) = n A e^{-nx^2}$...(1) donde n=1,2,3,.... para n muy grandes $n \to \infty$ cuando $x \to 0$ se tiene que $f_n(x) \to \infty$

Finalmente tienes que encontrar la constante A integrando de -intinito hasta +infinito =>

$\int_{-\infty}^{\infty} nAe^{-nx^2}dx = 1$

$n\int_{-\infty}^{\infty} A e^{-(\sqrt{n}x)^2} dx =1$

$\displaystyle 2nA\int_0^{\infty}e^{-u^2} \frac{du}{\sqrt n}=1$

$\displaystyle \frac{2nA}{\sqrt n}\int_0^{\infty}e^{-u^2} du =1$$\Rightarrow$

$\displaystyle \frac{2nA}{\sqrt n} \frac{\sqrt \pi}{2} =1$

$\displaystyle A=\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ ...(2)

de (1) y (2) se obtiene tu respuesta

$\displaystyle f_n(x)=\sqrt{\frac{n}{\pi}}e^{-nx^2}$

Esto implica que:

$\displaystyle \delta(x) =\lim_{n\to \infty} f_n(x) = \infty$ y tambien que:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta (x) dx = \lim_{n\to \infty} \int_{-\infty}^{\infty}f_n(x) dx =1$ cuando x=0

Espero haber ayudado

[Jose D. Escobedo]

Re: demostracion funcion fisica

Disculpa carroza porque no vi tu post antes y lo resolvi; creo que lo estabamos escribiendo casi al mismo tiempo; pero yo acabe mas tarde.

[angelica]

Re: demostracion funcion fisica

gracias por tu rta me ayudo bastante para aclarar unas dudas que tenia sobre el tema