Otras carreras ¿Principio de correspondencia para una partícula en una caja 3d?

[NikolaT]

Hola chicos,

Resolviendo la ecuación de Schrödinger para una partícula en una caja tridimencional se llega a la ecuación:

$E = \dfrac{h^{2}}{8m}\left( \dfrac{n_{x}^{2}}{a^{2}} + \dfrac{n_{y}^{2}}{b^{2}} + \dfrac{n_{z}^{2}}{c^{2}} \right)$

Para llegar a esta ecuación resolvimos de forma independiente la partícula en una caja para cada coordenada y al final la energía total de la partícula, es la suma de las energías en todas las coordenadas. Ahora bien, según el principio de correspondencia de Bohr, si la partícula tiene suficiente energía o bien, está en un nivel de energía n alto, esta se comienza a comportar clásicamente.

Mi pregunta entonces es, si tenemos en una coordena a la partícula con un nivel de energía suficiente para comportarse clásicamente, la partícula se comportaría clásicamente en todas las coordenas? o sólo en la coordenada que tiene suficiente energía y en las otras dos se comportaría cuánticamente?

Saludos.

[carroza]

Re: ¿Principio de correspondencia para una partícula en una caja 3d?

Hola.

Una partícula, en una caja, que se comporta clásicamente corresponde a una particula que se mueve, es decir, que su estado varía con el tiempo, rebotando en las paredes. Para que una particula se comporte clásicamente debemos encontrarla muy localizada en el espacio, variando con el tiempo, y rebotando en las paredes.

Este comportamiento nunca lo conseguiremos considerando partículas cuánticas con una energía definida. Necesitamos construir funciones, que sean combinaciones de varias energías, en las proximidades entorno de una energía dada, que sería la energía clásica de la partícula. En el caso que pones, cuando uno de los "n" es muy grande, podemos construir estas combinaciones de varios valores de n, en torno al n dado, y esta combinación forma un paquete de ondas que rebota en las paredes como la partícula clásica.

En el caso que pones, si una dimensión es mucho más grande que las otras, $a \gg b; a \gg c$, entonces, en general, $n_x \gg n_y; n_x \gg n_z$, y puede construirse un paquete de ondas en la dirección $x$ que se comporta clásicamente como una partícula rebotando, mientras que en las direcciones $y, z$ el comportamiento será el comportamiento cuántico que corresponde a valores de $n_z, n_y$ no muy grandes.

Saludos