Avanzado Entendiendo el grupo de Heisenberg y el álgebra de Weyl

[alexpglez]

¡Hola a todos!
Pues estaba intentando entender qué significado físico (o físico-matemático) tiene el grupo de Heisenberg y el álgebra de Weyl (la C*-álgebra natural generada por el anterior grupo).

Entiendo que desde un punto de vista matemático, es interesante considerar el grupo generado por el álgebra de Lie ($x,p \;\; x^*=x \;\; p^*=p \;\; xp-px=i$), es decir, el grupo generado por:

$$U(a)=e^{iax} \;\;\; V(b)=e^{ibp}$$

Con las propiedades heredadas de la álgebra:

$$U(a)U(a')=U(a+a') \;\;\; V(b)V(b')=V(b+b')$$

$$U(a)V(b)=e^{-i ab} V(b)U(a)$$

Porque mientras el álgebra anterior no se puede acotar, el álgebra generada por este grupo, la Weyl-algebra, es naturalmente una C*-algebra:

$$U(a)^*=U(-a) \;\;\; V(b)^*=V(-b)$$

$$U(a)^*U(a)=U(a)U(a)^*=1 \;\;\; V(b)^*V(b)=V(b)V(b)^*=1$$

Haciendo unitarios $U(a), \; V(b), \; U(a)V(b)$.

Anteriormente no le había prestado demasiada atención al grupo de Heisenberg pues me parecía una simple curiosidad matemática que nada tenía que ver con la física-matemática. Pero he leído que teoremas importantes sobre representación o evolución temporal se deducen de aquí.

Así pues, mis preguntas son las siguientes:
1) ¿En la mecánica clásica, o inclusive, en la teoría de espacios topológicos, hay algún grupo que sea el análogo clásico al grupo de Heisenberg?, es decir, ¿El grupo de Heisenberg tiene un análogo clásico?

2) ¿Se puede hacer cuántica (matemáticamente hablando) sin grupo de Heisenberg?

PD: Respecto a 1), opino que algún grupo de difeomorfismos de la variedad tendría que ser el análogo. Que intuitivamente, los generadores del grupo, desplazan la coordenada espacial y la coordenada del momento respectivamente, pero creo que no es exactamente así.
Respecto a 2), me gustaría que si pero creo que no...

Gracias, saludos