2o ciclo Función de Green en Mecánica Cuántica

[The Higgs Particle]

Hola, tengo varias dudas que relacionan la función de Green y la mecánica cuántica. Llevo bastante tiempo buscando información, pero parece ser que es un campo que aún se está investigando, así que lo que más encuentro son papers (lo cual implica que entiendo un 5% de lo que dicen).

Lo primero es que he encontrado dos funciones de Green en mecánica cuántica, una que es el propagador unitario para el tiempo y que, por ende, te da información sobre la evolución temporal de la función de onda:

$\dst \psi(x,t) = \int^{\infty}_{-\infty} \psi(x', t=0) g(x,x'; t) \dd x'$

con la función de Green:

$\dst g(x,x';t) = \sum_n \psi^*_n(x') \psi_n(x) e^{-\frac{iE_n t}{ \hbar}}$

Y otra, que responde a la función de onda estacionaria, resolviendo la ecuación de Helmholtz asociada. He leído que en realidad es solución de la de Klein-Gordon para casos estacionarios (cosa que no entiendo, porque tengo entendido que ésta es para ecuaciones de ondas (con una $\partial^2_t$):

$g(\vec{r}-\vec{r_0}) = \dst \frac{e^{ik \left\vert{} \vec{r}-\vec{r_0} \right\vert{} }}{4 \pi \left\vert{} \vec{r} - \vec{r_0} \right\vert{}}$

Entonces hay más cosas que no entiendo:
- Cómo es posible que sean ambas tan diferentes a la función de Green para una difusión (gausiana) cuando son soluciones de una ecuación de difusión (aunque el tiempo sea imaginario).
- Qué relación hay entre las dos. Quiero decir, sé que una es para evolución temporal y otra para casos estacionarios, pero no entiendo bien cuál es su diferencia.
- No he podido evitar fijarme en la diferencia entre la segunda función de Green y la obtenida para Poisson en electrostática y en gravitación:

$g(\vec{r}-\vec{r_0}) = \dst \frac{1}{4 \pi \left\vert{} \vec{r} - \vec{r_0} \right\vert{}}$

Y que, como $p = \hbar k \to k = \dst \frac{p}{\hbar}$. Así, tenemos:

$\dst \lim_{p \to 0} g(\vec{r}-\vec{r_0})_{cuantica} = g(\vec{r}-\vec{r_0})_{clasica}$

Supongo que no tiene nada que ver y será simplemente que los operadores diferenciales son muy parecidos, pero me resulta curioso que cuando, por ejemplo, la masa de una partícula tienda a 0, pasemos de la función de Green cuántica a la de electrostática y gravitación, sabiendo que precisamente lo que cumple el fotón (y probablemente el gravitón) es que su masa es nula. No hay ninguna relación, ¿no?