1r ciclo Estado fundamental de un oscilador armónico cuántico

[Visitante]

Buenas, tengo que hacer un ejercicio y me han surgido dudas sobre que quiere decir este enunciado,
Dada la ecuación del estado fundamental del oscilador armónico:

$\frac{\hbar\omega}{ 2}{\psi}_{ o}(x)=\frac{1}{2 }m{\omega}^{2 }{x}^{2 }{\psi}_{ 0}(x)-\frac{{\hbar}^{ 2}}{2m }\frac{{d}^{ 2}({\psi}_{ 0}(x))}{ d{x}^{ 2}}$

Demostrar que la función de onda:

${\psi}_{ o}(x)=\sqrt[4]{\frac{m\omega}{ \pi\hbar}}{e}^{-\frac{m\omega}{2\hbar }{x}^{ 2} }$

Es solución de la ecuación, por tanto describe el estado fundamental del oscilador cuántico.

Mi problema llega en que no se que significa que describa el estado fundamental, porque ya tengo la expresión desarrollada y sustituida, pero no se cual es el objetivo con el que concluya la demostración.

Muchas gracias!

[HanT]

Re: Estado fundamental de un oscilador armónico cuántico

Hola:

La primera ecuación que has escrito es la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo. Según la has escrito, aunque suele ir al contrario, el término de la derecha es el operador hamiltoniano (energía cinética más potencial) del sistema actuando sobre la función de onda (en este caso la del estado fundamental). A la izquierda tienes el autovalor de la energía del estado fundamental multiplicada por la función de onda.

No sé, si esto te dice mucho pero no sé cual es tu duda concreta. El ejercicio en sí lo único que te pide es sustituir esa función de onda y ver que se cumple la igualdad, lo que significa que efectivamente es solución. Lo que significa que describa el estado fundamental es que es la ecuación de Schrodinger particularizada para el caso del oscilador armónico del estado fundamental. Es como si te dijeran que la ley de Hooke describe el oscilador armónico clásico, pero este es el caso cuántico y lo que rige la mecánica cuántica no relativista es la ecuación de Schrodinger.

El estado fundamental de un sistema es el de menor energía, en el caso del oscilador armónico cuántico las energías son $\hbar\omega(n+\frac{1}{2})$ donde n es el número cuántico que designa cada estado. Para el fundamental tienes que $n=0$ y te queda la energía que aparece en la ecuación que has escrito. Pero esto no es algo que se sepa a priori, precisamente se sabe resolviendo la ecuación de S para el oscilador armónico cuántico, lo que pasa es que aquí ya te están dando la solución.

[Visitante]

Re: Estado fundamental de un oscilador armónico cuántico

Vale, si, era esa la duda, si de esta forma, comprobando la igualdad era suficiente para demostrarlo, conclusion a la que si que se llega con los cálculos asi que ya esta
Muchas gracias!!