Avanzado Sobre operadores que no conmutan

[alexpglez]

Sean por ejemplo la posición $Q$ y el momento $P$ de una partícula cuántica en cierto instante. Es conocido la utilidad del conmutador $[Q,P]$ para deducir el principio de incertidumbre. Mi duda es, ¿cuál es el significado físico de $QP$, $PQ$ y $[Q,P]$?
Por otro lado, como $Q$ y $P$ no conmutan, no son autoadjuntos (ni medibles) $QP$ y $PQ$ (aunque si $i[Q,P]$ y $\{Q,P\}$).

1- La suma es distinta, pues se puede ver de un modo operativo: simplificadamente el operador $Q+P$ es el único operador tal que $<\Psi|Q+P|\Psi>= <\Psi|Q|\Psi>+<\Psi|P|\Psi>$.
2- También, con un poco de imaginación podemos entender $A^n$ o $AB$ para dos operadores autoadjuntos que conmuten: en el caso finito, por simplicidad, podemos escribir inspirados en la probabilidad clásica, $A=\sum_{i=1}^n a_i P_i$, $B=\sum_{i=1}^n b_i P_i$ con $P_i$ proyecciones ortogonales y $a_i,b_i \in \mathbb R$ y ver que $AB=\sum_{i=1}^n a_ib_i P_i$. Viene a ser, considerar las matrices en las bases en las que son diagonales (simultáneamente, porque conmutan):

$$<br /> A=\begin{pmatrix}<br /> a_1 & 0 & \cdots & 0 \\<br /> 0 & a_2 & \cdots & 0 \\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\<br /> 0 & 0 & \cdots & a_n<br /> \end{pmatrix}$$

$$<br /> B=\begin{pmatrix}<br /> b_1 & 0 & \cdots & 0 \\<br /> 0 & b_2 & \cdots & 0 \\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\<br /> 0 & 0 & \cdots & b_n<br /> \end{pmatrix}$$

$$<br /> AB=\begin{pmatrix}<br /> a_1b_1 & 0 & \cdots & 0 \\<br /> 0 & a_2b_2 & \cdots & 0 \\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\<br /> 0 & 0 & \cdots & a_nb_n<br /> \end{pmatrix}$$

Que es muy parecido a la multiplicación, punto a punto, de funciones o de variables aleatorias en un espacio de probabilidad. $(fg)(x)=f(x)g(x)$, $(XY)(\omega)=X(\omega)Y(\omega)$


Regresando a mi pregunta "¿cuál es el significado físico de $QP$, $PQ$ y $[Q,P]$?", lo que me gustaría encontrar es una forma común de ver los punto 1, 2 y además entender el caso 2 cuando los operadores no conmutan.

Gracias, saludos

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PD: Para el caso 2, también valdría considerar, los operadores normales (tales que $A^\dagger A=A A^\dagger$), esto equivale a la anterior descomposición $A=\sum_{i=1}^n a_i P_i$ pero permitiendo a los coeficientes ser complejos, ($a_i \in \mathbb C$)