2o ciclo Pozo de potencial

[Aradan]

Tengo un problema que no logro entender, dice:
Una particula de masa m está en el "ground state" (estoy traduciendo) del pozo cuadrado infinito (que va de 0 hasta a ). De pronto, el pozo se expande a dos veces su tamaño orginal (la pared derecha se mueve desde a hasta 2a) dejando a la función de onda (momentaneamente) sin perturbar (undisturbed). La energía de la partícula es ahora medida.
a) Cuál es el resultado más probable? Cuál es la probabilidad de obtener tal resultado?
b) Cual es el segundo resultado más probable y cuál es su probabilidad?
c)Cual es el valor esperado de la energía (expectation value) ?

De esto, entiendo que si se encuentra en el ground state su función de onda sería $\Psi =\psi_1 e^{-i E_1 t}=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{\pi}{a}x)e^{-i E_1 t}$
Ahora, si me dicen q no queda perturbada supongo que queda así mismo. Y luego me preguntan por el resultado más probable. Ahi no lo entiendo, si considero $\Psi(x,0)$ la función inicial y encuentro lo demás integrando desde 0 hasta 2a ahora pero al final me daría el mismo $\Psi_1$ y no tendria sentido preguntar el resultado más probable

O quizás debo medir la energía, eso me confunde, porque al final (pregunta c) ) me preguntan por <H>

[carroza]

Re: Pozo de potencial

Hola. Cuando cambias el pozo, cambian sus autoestados.

El estado inicial que tu tienes (que es un autoestado del hamiltoniano inicial)
pasa a ser una combinación de los autoestados del nuevo pozo.

Así que tienes que evaluar las integrales de solapamiento de tu estado inicial
con los autoestados del pozo expandido. Estas integrales, al cuadrado, te dan la probabilidad de estar en los nuevos autoestados.

[Aradan]

Re: Pozo de potencial

O sea, $\displaystyle{c_n=\int_{0}^{2a}\Psi(x,0)\,\psi_n\,\,dx}$
Donde $\psi_n$ son los nuevos autoestados del nuevo pozo y $\Psi(x,0)$ es mi estado cero del pozo sin modificar?

En ese caso, la partícula pasaría al estado $E_2$ y tendría probabilidad 1

[carroza]

Re: Pozo de potencial

Bien tu expresión de C_n.

Mal tu deducción de que solo se pasa al estado con E=2,
porque la función inicial sólo se extiende hasta a, no hasta 2a.

[Aradan]

Re: Pozo de potencial

O sean integro desde 0 hasta a

Pero ¿no tiene que ver en algo la normalización de $\psi_n$? Porque estos están normalizados para 0 hasta 2a

[carroza]

Re: Pozo de potencial

Claro, cada estado tiene la normalización que le corresponde. Los psi_n estan
normalizadas de 0 a 2a, y el Psi(0,x) esta normalizado de 0 a a, y vale cero
entre a y 2a.

[meredithvonlasher]

Re: Pozo de potencial

Bueno, en realidad esto es un problema que se puede resolver por una de las teorías de perturbaciones, fijate en el libro de Griffiths, perturbación adiabática. Es decir, si el pozo aumenta de tamaño súbitamente, como ya te han respondido cambiarían los autoestados, de modo que tu ground state del pozo de tamaño a, es ahora combinación lineal de los nuevos autoestados del pozo de tamaño 2a, y tendrías que volver a hacer la cuenta. Pero hay una forma de aumentar el pozo al doble de su tamaño de forma adiabática, es decir, suficientemente lento, como para que tu estado permanezca en el ground state del nuevo pozo. Yo no me acuerdo en este momento las cuentas en detalle, pero se hace por perturbación, y está explicado muy bien en el Quantum Mechanics del libro de Griffiths.