Otras carreras Desafio - Ecuacion de Shrodinger

[rusocdu]

Hola gente!
A partir de la ecuacion de Shrodinger para una particula de masa M sometida a un potencial V(x) para una dimension, proponer una solucion para la funcion de onda $y(x,t)$ por el metodo de separacion de variables. Encontrar la expresion para la parte temporal y la parte espacial.

Alguien me podria guiar para hacer esto?
Gracias!!!

PD: he visto este enlace pero no lo he entendido.

[Entro]

Re: Desafio - Ecuacion de Shrodinger

Te daré las líneas generales:

La ecuación sería:

$-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2y(x,t)}{dx^2}+V(x)y(x,t)=i\hbar\dfrac{dy(x,t)}{dt}$

Método de separación de variables:

1.- Como las derivadas no mezclan coordenadas (x,t), no hay derivadas cruzadas, la solución se podrá expresar como:

y(x,t)=X(x)T(t)

el producto de una función que únicamente depende de x y de una función que únicamente depende de t.

2.- Se introduce esta propuesta en la ecuación y se opera.

3.- Te quedarán factores donde apareceran derivadas en x y en t con funciones en t y en x respectivamente. Divide toda la ecuación por la solución abstracta propuesta: X(x)T(t).

4.- Ahora tienes en un lado solo dependencia en x y al otro lado dependencia en t. Por un teorema sabemos que si una ecuación está involucrando en cada miembro funciones que dependen de variables distintas la única forma de que la igualdad sea cierta es que ambos miembros seán igual a una constante. Llama a esa constante E (porque físicamente corresponde con la energía).

5.- Separa la ecuación en dos, cada una igualada a E. Reordena los factores que tienes dividiendo y tendrás la forma usual de las ecuaciones.

6.- La parte temporal se puede resolver directamente. La parte espacial no se puede resolver a no ser que te den la forma funcional de V(x) y las condiciones de contorno.

Espero que te sirva, solo hay que seguir los pasos con cuidadito y verás que chulo.

[rusocdu]

Re: Desafio - Ecuacion de Shrodinger

Excelente!
Me he animado a hacerlo siguiendo tus pasos y la verdad que voy bastante bien!!!
Te lo agradezco mucho!
Dejo el hilo abierto por las dudas, si no tienen problema...
Gracias hermano!

[rusocdu]

Re: Desafio - Ecuacion de Shrodinger

Gracias Entro!
Por suerte ya lo he resuelto!
No era tan dificil... Era voluntad!

Muchas Gracias!!!!

[rusocdu]

Re: Desafio - Ecuacion de Shrodinger

Aprovecho el hilo para plantear unas dudas...

Una de las soluciones de la Ecuacion de Schrodinger es $\psi _{(x)} = A\left( {e^{ikx} - e^{ - ikx} } \right) = 2iA\sin (kx) = C\sin (kx)$
Ahora, mi duda es: ¿esta solucion puedo utilizarla para cualquier tipo de problema? es decir, ya sea una pared de potencial, una caja de potencial, pozo de potencial?
Gracias!!

[eljose]

Re: Desafio - Ecuacion de Shrodinger

NO, las autofunciones del problema dependen No solo del potencial sino tambien de las ecuaciones de contorno ....

por ejemplo la solucion de la E. de Schroendiguer en un Cuadrado No es la misma que en un circulo , las condiciones de contorno Tambien deben de ser tenidas en cuenta.