¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

[Juanma1976]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Hola Stormkalt,

de las 4 ecuaciones podrás obtener 4 de las cinco constantes de integración en función de la primera, A que representa la amplitud de la parte incidente de la onda antes de atravesar la barrera de potencial, y ésta está en función de la longitud de onda.

La verdad es que me da bastante pereza resolver las ecuaciones.
Yo, como recomendar es facil, te recomiendo que simplifiques las ecuaciones quedándote con una de las dos partes independientes de cada ecuación, esto es que las ecuaciones se cumplan para las partes reales o imaginarias. Creo que de esta manera se simplifica bastante.

Un saludo.

¡Saludos a la comunidad!

Siguiendo, entonces, con el razonamiento de juanma1976, tendríamos:

$\Psi_1=C_1 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

y

$\Psi_2=K e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

Al aplicar las condiciones de contorno (es decir, [FONT=TimesNewRomanPSMT]debemos empalmar en X = 0 y x = L, [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]la solución de las dos regiones (antes y después de la barrera) [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]para que la corriente de probabilidad sea continua y por lo tanto se conserve la probabilidad)[/FONT]:

$\Psi_1=\Psi_2$ y $\frac{\partial\Psi_1}{\partial x}=\frac{\partial\Psi_2}{\partial x}$ en el inicio de la barrera.

Cuando calculé me quedó:

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}(C_1-C_2) = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}K<br />$

Si llamamos para simplificar la cosa:

$u = i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

$v = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}$

para x = 0

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$u(C_1-C_2) = vK<br />$

para x = L

$C_1e^{uL} + C_2e^{-uL} = Ke^{-vL}$

$u(C_1e^{uL}-C_2e^{-uL}) = vKe^{-vL}<br />$

El tema ahora es cómo despejo las constantes. ¿Qué me recomiendan?

¡Saludos!

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

¡Saludos a la comunidad!

Siguiendo, entonces, con el razonamiento de juanma1976, tendríamos:

$\Psi_1=C_1 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

y

$\Psi_2=K e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

Al aplicar las condiciones de contorno (es decir, [FONT=TimesNewRomanPSMT]debemos empalmar en X = 0 y x = L, [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]la solución de las dos regiones (antes y después de la barrera) [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]para que la corriente de probabilidad sea continua y por lo tanto se conserve la probabilidad)[/FONT]:

$\Psi_1=\Psi_2$ y $\frac{\partial\Psi_1}{\partial x}=\frac{\partial\Psi_2}{\partial x}$ en el inicio de la barrera.

Cuando calculé me quedó:

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}(C_1-C_2) = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}K<br />$

Si llamamos para simplificar la cosa:

$u = i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

$v = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}$

para x = 0

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$u(C_1-C_2) = vK<br />$

para x = L

$C_1e^{uL} + C_2e^{-uL} = Ke^{-vL}$

$u(C_1e^{uL}-C_2e^{-uL}) = vKe^{-vL}<br />$

El tema ahora es cómo despejo las constantes. ¿Qué me recomiendan?

¡Saludos!

Hasta aqui esta incompleto, tienes que evaluar otra zona mas:

$\psi_1$ para $x<0$

$\psi_2$ para $0 < x < l$

y para $\psi_3$ cuando $l< x$

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Hola:

Sartie; Juanma1976; Jose D. Escobedo:

Gracias por comentar. Creo haber entendido todas las sugerencias. Hoy o mañana voy a intentar terminarlo y lo subo a ver qué opinan.

¡Saludos cordiales!

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Retomando, entendí que se han de evaluar más casos (incluí los términos que más tarde se anulan):

Llamé $C_3 a K$

$x<0$

$\Psi_1=C_1 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

$0<x<L$
$\Psi_2=C_3 e^{\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x} + C_4 e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

$x>L$
$\Psi_3=C_5 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_6 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

Al aplicar las condiciones de contorno X = 0 y x = L a las funciones y sus derivadas:

$v = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

$u = \frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}$

$x = 0$

$<br /> C_1 + C_2 = C_3 + C_4<br />$

$v(C_1-C_2) = -iu(C_3 + C_4)<br />$

$<br /> x = L<br />$

$C_3e^{uL} + C_4e^{-uL} = C_5e^{ivL} + C_6e^{-ivL}$

$u(C_3e^{uL}-C_4e^{-uL}) = iv(C_5e^{ivL} + C_6e^{-ivL})<br />$

A partir de acá, (no me quedó otra que ayudarme del libro) resolví en forma matricial (no lo pongo porque es muy largo. Si alguien lo quiere en otro mensaje lo agrego) y llegué a:

$<br /> T=\left |{\frac{C_5}{C_1}}\right |^2=\frac{1}{cosh^2uL+\frac{1}{4}(\frac{u}{v}-\frac{v}{u})^2senh^2uL}<br />$

O lo que es igual:

$<br /> T=\left |{\frac{C_5}{C_1}}\right |^2=\frac{1}{1+\frac{senh^2uL}{4\frac{E}{E_0}(1-\frac{E}{E_0})}}<br />$

Ahora, si la barrera es significativamente ancha y $E$ es mucho menor que $E_0$

$<br /> senhuL = \frac{e^{uL} - e^{-uL}}{2} = \frac{e^{uL}}{2}<br />$

Y la expresión toma la forma ¡que quería demostrar!

$<br /> T \approx \frac{1}{1+\frac{e^{2uL}}{16\frac{E}{E_0}(1-\frac{E}{E_0})}}<br />$

$T \approx 16\frac{E}{E_0}(1-\frac{E}{E_0})e^{-2L\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}}$

Que es la probabilidad $T$ que una partícula de energía $E$atraviese una barrera de potencial $E_0$ cuya longitud es $L$

Espero no haberme confundido en ningún paso.
¡Saludos cordiales!