¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Retomando, entendí que se han de evaluar más casos (incluí los términos que más tarde se anulan):

Llamé $C_3 a K$

$x<0$

$\Psi_1=C_1 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

$0<x<L$
$\Psi_2=C_3 e^{\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x} + C_4 e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

$x>L$
$\Psi_3=C_5 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_6 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

Al aplicar las condiciones de contorno X = 0 y x = L a las funciones y sus derivadas:

$v = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

$u = \frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}$

$x = 0$

$<br /> C_1 + C_2 = C_3 + C_4<br />$

$v(C_1-C_2) = -iu(C_3 + C_4)<br />$

$<br /> x = L<br />$

$C_3e^{uL} + C_4e^{-uL} = C_5e^{ivL} + C_6e^{-ivL}$

$u(C_3e^{uL}-C_4e^{-uL}) = iv(C_5e^{ivL} + C_6e^{-ivL})<br />$

A partir de acá, (no me quedó otra que ayudarme del libro) resolví en forma matricial (no lo pongo porque es muy largo. Si alguien lo quiere en otro mensaje lo agrego) y llegué a:

$<br /> T=\left |{\frac{C_5}{C_1}}\right |^2=\frac{1}{cosh^2uL+\frac{1}{4}(\frac{u}{v}-\frac{v}{u})^2senh^2uL}<br />$

O lo que es igual:

$<br /> T=\left |{\frac{C_5}{C_1}}\right |^2=\frac{1}{1+\frac{senh^2uL}{4\frac{E}{E_0}(1-\frac{E}{E_0})}}<br />$

Ahora, si la barrera es significativamente ancha y $E$ es mucho menor que $E_0$

$<br /> senhuL = \frac{e^{uL} - e^{-uL}}{2} = \frac{e^{uL}}{2}<br />$

Y la expresión toma la forma ¡que quería demostrar!

$<br /> T \approx \frac{1}{1+\frac{e^{2uL}}{16\frac{E}{E_0}(1-\frac{E}{E_0})}}<br />$

$T \approx 16\frac{E}{E_0}(1-\frac{E}{E_0})e^{-2L\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}}$

Que es la probabilidad $T$ que una partícula de energía $E$atraviese una barrera de potencial $E_0$ cuya longitud es $L$

Espero no haberme confundido en ningún paso.
¡Saludos cordiales!

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Hola:

Sartie; Juanma1976; Jose D. Escobedo:

Gracias por comentar. Creo haber entendido todas las sugerencias. Hoy o mañana voy a intentar terminarlo y lo subo a ver qué opinan.

¡Saludos cordiales!

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

¡Saludos a la comunidad!

Siguiendo, entonces, con el razonamiento de juanma1976, tendríamos:

$\Psi_1=C_1 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

y

$\Psi_2=K e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

Al aplicar las condiciones de contorno (es decir, [FONT=TimesNewRomanPSMT]debemos empalmar en X = 0 y x = L, [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]la solución de las dos regiones (antes y después de la barrera) [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]para que la corriente de probabilidad sea continua y por lo tanto se conserve la probabilidad)[/FONT]:

$\Psi_1=\Psi_2$ y $\frac{\partial\Psi_1}{\partial x}=\frac{\partial\Psi_2}{\partial x}$ en el inicio de la barrera.

Cuando calculé me quedó:

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}(C_1-C_2) = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}K<br />$

Si llamamos para simplificar la cosa:

$u = i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

$v = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}$

para x = 0

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$u(C_1-C_2) = vK<br />$

para x = L

$C_1e^{uL} + C_2e^{-uL} = Ke^{-vL}$

$u(C_1e^{uL}-C_2e^{-uL}) = vKe^{-vL}<br />$

El tema ahora es cómo despejo las constantes. ¿Qué me recomiendan?

¡Saludos!

Hasta aqui esta incompleto, tienes que evaluar otra zona mas:

$\psi_1$ para $x<0$

$\psi_2$ para $0 < x < l$

y para $\psi_3$ cuando $l< x$

[Juanma1976]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Hola Stormkalt,

de las 4 ecuaciones podrás obtener 4 de las cinco constantes de integración en función de la primera, A que representa la amplitud de la parte incidente de la onda antes de atravesar la barrera de potencial, y ésta está en función de la longitud de onda.

La verdad es que me da bastante pereza resolver las ecuaciones.
Yo, como recomendar es facil, te recomiendo que simplifiques las ecuaciones quedándote con una de las dos partes independientes de cada ecuación, esto es que las ecuaciones se cumplan para las partes reales o imaginarias. Creo que de esta manera se simplifica bastante.

Un saludo.

¡Saludos a la comunidad!

Siguiendo, entonces, con el razonamiento de juanma1976, tendríamos:

$\Psi_1=C_1 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

y

$\Psi_2=K e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

Al aplicar las condiciones de contorno (es decir, [FONT=TimesNewRomanPSMT]debemos empalmar en X = 0 y x = L, [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]la solución de las dos regiones (antes y después de la barrera) [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]para que la corriente de probabilidad sea continua y por lo tanto se conserve la probabilidad)[/FONT]:

$\Psi_1=\Psi_2$ y $\frac{\partial\Psi_1}{\partial x}=\frac{\partial\Psi_2}{\partial x}$ en el inicio de la barrera.

Cuando calculé me quedó:

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}(C_1-C_2) = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}K<br />$

Si llamamos para simplificar la cosa:

$u = i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

$v = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}$

para x = 0

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$u(C_1-C_2) = vK<br />$

para x = L

$C_1e^{uL} + C_2e^{-uL} = Ke^{-vL}$

$u(C_1e^{uL}-C_2e^{-uL}) = vKe^{-vL}<br />$

El tema ahora es cómo despejo las constantes. ¿Qué me recomiendan?

¡Saludos!

[Sartie]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

tienes que aplicar la segunda condicion de frontera, es decir, continuidad de las derivadas. Las derivadas de ambas funciones deben ser iguales tambien, no solo las fdo si no tambien sus derivadas

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

¡Saludos a la comunidad!

Siguiendo, entonces, con el razonamiento de juanma1976, tendríamos:

$\Psi_1=C_1 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

y

$\Psi_2=K e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

Al aplicar las condiciones de contorno (es decir, [FONT=TimesNewRomanPSMT]debemos empalmar en X = 0 y x = L, [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]la solución de las dos regiones (antes y después de la barrera) [/FONT][FONT=TimesNewRomanPSMT]para que la corriente de probabilidad sea continua y por lo tanto se conserve la probabilidad)[/FONT]:

$\Psi_1=\Psi_2$ y $\frac{\partial\Psi_1}{\partial x}=\frac{\partial\Psi_2}{\partial x}$ en el inicio de la barrera.

Cuando calculé me quedó:

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}(C_1-C_2) = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}K<br />$

Si llamamos para simplificar la cosa:

$u = i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$

$v = -\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}$

para x = 0

$<br /> C_1 + C_2 = K<br />$

$u(C_1-C_2) = vK<br />$

para x = L

$C_1e^{uL} + C_2e^{-uL} = Ke^{-vL}$

$u(C_1e^{uL}-C_2e^{-uL}) = vKe^{-vL}<br />$

El tema ahora es cómo despejo las constantes. ¿Qué me recomiendan?

¡Saludos!

[polonio]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Hola Juanma1976:

Gracias por interesarte en el tema:

No entiendo cuando ponés:

$<br /> E < E_0<br />$

Supuestamente es al revés, la energía total es mayor que la energía en reposo.

También cuando eliminás el término exponencial positivo, ¿lo hacés arbitrariamente?
También, cuando hacés el potencial igual a cero para extraer la primer solución: ¿cómo justificarías esa suposición?

¡Muchas gracias!

$E_0$ es, según explica muy bien Juanma1976, la energía de la barrera de potencial, ¿no? Nada de energía en reposo.

El término exponencial creciente se anula (te lo explica Juanma también) para que la probabilidad esté bien definida (sea finita e igual a uno si integramos en todo el espacio).

Lo de potencial igual a cero fuera de la barrera no es ninguna suposición: es que fuera de la barrera no actúa ningún potencial (=potencial cero).

[Sartie]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Hola Juanma1976:


También cuando eliminás el término exponencial positivo, ¿lo hacés arbitrariamente?

no, esto lo hace por que antes de pasar la barrera tienes dos ondas, la incidente y la reflejada, pero al pasar la barrera solo tienes la onda saliente, no hay ninguna reflejada, y por tanto no tiene sentido ponerla

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Hola Juanma1976:

Gracias por interesarte en el tema:

No entiendo cuando ponés:

$<br /> E < E_0<br />$

Supuestamente es al revés, la energía total es mayor que la energía en reposo.

También cuando eliminás el término exponencial positivo, ¿lo hacés arbitrariamente?
También, cuando hacés el potencial igual a cero para extraer la primer solución: ¿cómo justificarías esa suposición?

¡Muchas gracias!

[Juanma1976]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

A partir de lo que he leído y de la información del hilo veo que la idea es encontrar dos ecuaciones de onda. La primera, $\Psi_1$ para antes de la barrera y la segunda, $\Psi_2$ en la barrera. Después aplicar condiciones de contorno para determinar constantes de integración, para finalmente calcular el módulo al cuadrado de la segunda función en el límite de la barrera, que será exactamente la probabilidad de que la partícula salte la barrera.

Ecuación de Schröedinger
$<br /> -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{{\partial ^2 \Psi}}{{\partial x^2}} + V \Psi = E\Psi$

Para la primera función de onda, $V=0$

$-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{{\partial ^2 \Psi_1}}{{\partial x^2}} = E\Psi_1$, de donde se puede aislar $\frac{{\partial ^2 \Psi_1}}{{\partial x^2}}$

$\frac{{\partial ^2 \Psi_1}}{{\partial x^2}}+\frac{2mE}{\hbar^2}=0$

La ecuación es de segundo orden y tiene como solución:

$\Psi_1=C_1 e^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}+C_2 e^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}$

Para la segunda función de onda, $V=E_0$

$\frac{{\partial ^2 \Psi_2}}{{\partial x^2}}-\frac{2m(E_0-E)}{\hbar^2}=0$

Si suponemos que $E<E_0$ el término independiente de la ecuación diferencia es negativa y al igual que antes, la ecuación es de segundo orden y tiene como solución:

$\Psi_2=K_1 e^{\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}+K_2 e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

De $\Psi_2$ debemos eliminar el término exponencial positivo ya que si no la función de probabilidad no estaría bien definida.

Finalmente queda que $\Psi_2=K e^{-\frac{\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}x}$

Aquí la función dice que dentro de la barrera la función de probabilidad decrece exponencialmente, por lo que si la barrera en suficientemente ancha, la probabilidad del salto es cercana a 0 y prácticamente nunca vale cerca de 1.

Supongamos que la barrera tiene longitud $L$. Entonces la probabilidad de salto es

$P(salto)=|\Psi_2|^2=|K|^2e^{L\frac{-4\pi\sqrt{2m(E_0-E)}}{\hbar}}$

Para encontrar el valor de $K$ se aplican las condiciones de contorno, a saber

$\Psi_1=\Psi_2$ y $\frac{\partial\Psi_1}{\partial x}=\frac{\partial\Psi_2}{\partial x}$ en el inicio de la barrera.

Al solucionar, se debería encontrar la expresión que Stormkalt puso al inicio del hilo.

Un saludo.

[polonio]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

¡Hola!

Polonio: Decís que la probabilidad no puede ser cercana a 1. Pero puede darse el caso que el espesor de la barrera tienda a cero, en eso caso la probabilidad tenderá a 1. O que, independientemente del espesor, si la energía cinética de la partícula tiende a la energía potencial de la barrera, también la probabilidad tenderá a 1. En esos casos la ecuación anterior no será aplicable.

Lo de la probabilidad aquí tiene que ver más bien con la altura de la barrera, no con la anchura. Así que, efectivamente, si la energía de la partícula es cercana a la altura de la barrera, la probabilidad es más alta (aunque clásicamente esté prohibida), pero sigue sin ser cercana a la unidad.

De todas formas, sí, en el mensaje anterior sólo pensé en "tunelar" barreras "muy altas" comparadas con la energía de la partícula.

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

Aclaro que cuando escribí la ecuación de Schrödinger se me deslizó un pequeño error:
Donde dice:
$\frac{{\partial ^2 \Psi (x;y)}}{{\partial x^2}}$

debería decir:
$\frac{{\partial ^2 \Psi (x;t)}}{{\partial x^2}}$

Entonces, bien escrita quedaría:

$<br /> -\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{{\partial ^2 \Psi (x;t)}}{{\partial x^2}} + V(x;t) \Psi (x;t) = i\hbar \frac{{\partial \Psi (x;t)}}{{\partial t}}<br />$

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

no no, las derivadas se usan como condicion de continuidad, no es necesario

¡Gracias! Esta tarde me lo pongo a hacer a ver si llego.

¡Saludos!

[Sartie]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

no no, las derivadas se usan como condicion de continuidad, no es necesario

[Stormkalt]

Re: ¿Cómo se deduce la ecuación para el efecto túnel?

¡Hola!

Polonio: Decís que la probabilidad no puede ser cercana a 1. Pero puede darse el caso que el espesor de la barrera tienda a cero, en eso caso la probabilidad tenderá a 1. O que, independientemente del espesor, si la energía cinética de la partícula tiende a la energía potencial de la barrera, también la probabilidad tenderá a 1. En esos casos la ecuación anterior no será aplicable.

Sartie: ¿al calcular los cuadrados de la función del onda tengo que elevar también al cuadrado sus derivadas?
El resto de tu explicación creo que lo entendí.


(Voy a intentarlo)

¡Saludos cordiales!