2o ciclo Estados de máxima y mínima entropía

[Tiresias]

Hola

Tengo la siguiente duda. Se pide calcular los estados de mínima y máxima entropía en un espacio de Hilbert de dimensión N.

Pues bien, he escrito la fórmula de la entropía de von Neumann, he empleado el método de los multiplicadores de Lagrange y al final he obtenido que el estado de máxima entropía es la identidad multiplicada por el inverso de N.
Hasta aquí todo bien.

El problema viene con el de mínima entropía. Sé que los estados de mínima entropía son los puros, sin embargo no soy capaz de encontrarlos buscando extremos relativos en la entropía. Concretamente si no me he equivocado, para estados puros la derivada de la entropía tiende a menos infinito.
¿Cómo podría encontrar entonces los estados de mínima entropía?

Para este caso ya sé que son los puros, pero si por ejemplo se pide el estado de mínima entropía para un sistema con un hamiltoniano de espectro puntual no degenerado entre los estados con un valor medio de la energía E, ¿cómo se haría?
De nuevo he encontrado el de máxima entropía pero no así el de mínima.

Espero haberme explicado, gracias.

[carroza]

Re: Estados de máxima y mínima entropía

Hola.

Realmente, estás caracterizando los estados por la matriz densidad "rho". La entropía es la traza de - rho ln(rho).

La máxima entropía ocurre cuando la matriz densidad es la unidad dividida por N.
La mínima entropía ocurre para cualquier estado puro. Hay infinitos estados con entropía mínima, que sería 0 para un estado puro. No lo puedes calcular haciendo mínima la entropía, porque los estados puros son, en cierto modo, los extremos del conjunto formado por todas las matrices densidad posibles.

Para un sistema de matrices densidad de espectro no degenerado, debes hacer mínima la entropía con la condición de que

sum_i rho_i =1, y sum_i rho_i E_i = E


PS: Qué pasó con los simbolos de latex?

[polonio]

Re: Estados de máxima y mínima entropía

PS: Qué pasó con los simbolos de latex?

Si pulsas sobre "Modo avanzado", en la parte inferior derecha de la ventana de respuesta, te saldrá (más o menos donde siempre) en la barra de herramientas.

[Tiresias]

Re: Estados de máxima y mínima entropía

Gracias carroza, pero haciendo eso que tú me dices, imponiendo esas ligaduras y buscando la derivada de la entropía igual a 0 sólo obtengo los estados de máxima entropía. ¿Cómo obtengo los de mínima?

[ser humano]

Re: Estados de máxima y mínima entropía

Gracias carroza, pero haciendo eso que tú me dices, imponiendo esas ligaduras y buscando la derivada de la entropía igual a 0 sólo obtengo los estados de máxima entropía. ¿Cómo obtengo los de mínima?

te va a quedar una funcion cuadratica, con dos resultados diferentes en los cuales uno sera el minimo y el otro el maximo

[carroza]

Re: Estados de máxima y mínima entropía

Hola. Los estados de mínima entropía son todos los estados puros.

Partiendo de un estado puro, desarrollado en la base de autoestados del hamiltoniano

$|\psi> = \sum_i c_i |i>$,

puedes plantearlas condiciones de normalización y valor esperado de la energía.

$\sum_i |c_i|^2 = 1$

$\sum_i |c_i|^2 E_i = E$

Todos los estados que cumplen estas condiciones son de entropía mínima (S=0).