Otras carreras demostrar con ayuda del teorema de gauss

[xxx]

hola a todos, estudio ing, me plantearon un problema pero no se si me demostracion sea correcta , me gustaria corroborarlo aqui, ya que nosotros no somos tanto de demostraciones, espero contar con tu ayuda.

el problema es el siguiente:

Demostrar con ayuda del teorema de gauss, que el campo electrico en los puntos exteriores a una esfera que tiene una densidad de carga uniforme es el mismo que si toda la carga e la esfera estuviera concentrada en su centro.

ya lo plantee cona esfera solida de radio a y densidad de carga volumetrica constante uniforme,usando una superficie gausiana

[Al2000]

Re: demostrar con ayuda del teorema de gauss

Auxíliate con un libro para los gráficos, que no tengo uno apropiado a la mano. Conseguir el campo usando el teorema de Gauss se basa en la simettría esférica del problema. Como la carga esta distribuída uniformemente en la esfera, todas las direcciones del espacio en torno a la esfera son equivalentes, lo cual implica que el campo eléctrico es radial y solo depende de la distancia a la esfera, llamémosla $r$. Por consiguiente, si se determina el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica $S$ concéntrica con la distribución de carga y de radio $r$, en cada punto de esa superficie el campo tendrá un valor constante y será perpendicular a la superficie. Entonces

$$\Phi_E = \oint_S \vec E \cdot d \vec S = \oint_S E \cos 0 dS = E \oint_S dS = E (4 \pi r^2)$$

Hasta aquí es el mismo cálculo bien sea que consideres que la superficie gaussiana está en el interior $(0 \le r \le R)$ or que está en el exterior $(R \le r < \infty )$. Si estás en el interior debes calcular la carga neta encerrada con una simple regla de tres. Si estás en el exterior, entonces la carga encerrada por la superficie gaussiana es la carga total de la esfera, $Q$, y de acuerdo con el teorema de Gauss

$$\Phi_E = \frac Q {\epsilon_0}$$

Igualando con el valor del flujo obtenido por integración directa y despejando el campo, obtienes que

$$E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {r^2} \ , \ \ R \le r < \infty$$

que es idéntico al de una carga puntual.

Saludos,

AA