Densidad de corriente volumetrica en cascaron hemiesferico

[miguelm87]

Hola a todos e pasado luchando con este problema, pero la veradad no estoy seguro de su resolución y necesito saberla si fueran tan amables de mirarlo haber q opinan:
gracias
[FONT=Times New Roman]1. En cierta región del espacio se tiene una densidad de corriente volumétrica J =1/r3[/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]×[/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman] (2cos[/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]q[/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman] r + sen[/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]q[/FONT][/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]q[/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman]) A/m2. Para una superficie definida por un cascarón hemisférico de 20cm de radio, debe cumplirse que la corriente total que lo cruza vale[/FONT]
[FONT=Times New Roman]a) 0 A b) 10[/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman] A c) [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]p[/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman] A d) [/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]-[/FONT][/FONT][FONT=Times New Roman]31.4A e) n.a.[/FONT]

[carroza]

Re: Densidad de corriente volumetrica en cascaron hemiesferico

Bueno, la respuesta es el flujo a traves del cascaron hemiesferico.

Depende de donde pongas el cascaron hemiesferico. Si esta "arriba" (theta<pi/2) la intensidad es positiva. Si esta hacia abajo (theta>pi/2), la intensidad es negativa.

Tambien depende, en tu formula, de que signifique "r" en negrita (si es un vector unitario o el vector "r ").

Suponiendo que el cascaron esta hacia arriba, y que "r" es unitario, calculas el flujo, al que solo contribuye la componente radial, haces la integral en theta, phi, y te sale 10 Pi amperios.

[Sergio Ramirez lopez]

Re: Densidad de corriente volumetrica en cascaron hemiesferico

Puedes hacerlo por integracion directa aunque pienso que tambien podrias utilizar el teorema de Gauss-ostrogradsky

En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, es un teorema que relaciona la divergencia de un campo vectorial con el valor de la integral de superficie del flujo definido por este campo.

Veras por lo que entiendo del enunciado de tu problema tienes el cascaron hemiesférico sin una base que lo cierre. Para aplicar dicho teorema tienes que tener una superficie cerrada.Tienes que la ecuación del cascaron,que es

$x^2+y^2+z^2=r^2 \qquad z \geq 0$

Es decir una semiesfera



Sabemos que dicha ley dice que:


$\int\int_{\Sigma}\vec{J}\vec{dS}=\int\int\int_{\tau}\vec{\nabla} \cdot \vec {J} d\tau$

si tienes suerte la divergencia te podría salir cero o una constante (la verdad es que no he calculado la divergencia en esféricas para la densidad de corriente por falta de tiempo),si te sale cero eso significa que la intensidad que entra por la base es la misma que sale por el casquete y calcular la intensidad en la base es mas fácil que en la superficie problema. Lo mismo si te sale una constante ya que en tal caso tendrías que la intensidad es la constante multiplicada por el volumen que genera el casquete esferico menos la intensidad en la base.
Prueba con este metodo y con el metodo anterior que te han propuesto a ver lo que te sale.Y recuerda la ley de la navaja de Occam,en igualdad de condiciones la respuesta mas sencilla tiende a ser la correcta,con esto quiero decir que en principio deberias obtener el mismo resultado por los dos metodos pero utiliza el que te sea mas sencillo.Aunque nunca esta de mas practicar con varias alternativas.