1r ciclo probllema con un esfera que cambia su densidad de carga

[MIMOSA]

hola¡¡¡¡, de nuevo dando guerra jejeje pero creo que es p`referible preguntar que quedarme con la duda y no entender. lamento molestar tanto sorry¡¡¡
un esfera aislante de radio R tiene una densidad de carga que varia con r de acuerdo a la expresion phro=Ar*r donde a es una constante y r menor que R se mide desde el centro de la esfera. calcula el campo electrico en el interior y el exterior de la esfera.

primero obtenemos la carga. para el caso de afuera la carga es la integral de volumen de la densidad de la difrencial cubica de r. y evaluamos esta integral de o a R. resolviendo obtenemos la carga para la esfera con radio R. por ley de gauss la integral del campo por la diferencial del area es la carga encerrada sobre epsilon cero. y como en este problema suponemos que el campo es homogeneo, E4pir*r= la carga sobre epsilon y solo despejamos E.
la carga me dio que era 4 pi A R a la quinta sobre 5. ( es como si a estar afuera creamos una esfera y la tomamos como la superficie gaussiana.)

para el interior es donde tengo dudas. no se bien. estamos dentro de la esfera, entonces la carga debe ser A r ala quinta sobre 5. y otra vez aplicamos ley de gauss yesta vez la la diferencial del area es la misma que antes E 4 pi*r =A r a la quinta sobre 5. y ya despejamos E

entonces me queda que pasa el exterior el campo es AR a la quinta sobre epsilon por 5 por r cuadrada.
y para el exterior me queda A r al cubo sobre 5 epsilon.
espero me orienten. y perdon por no poner las formulas seria mas sencillo pero no se como ponerlas. gracias¡¡¡¡

[Al2000]

Re: probllema con un esfera que cambia su densidad de carga

La vida del vaquero es duuuuura... sorry, solo bromeo Todo lo que describiste es correcto, te felicito.

AA

[MIMOSA]

Re: probllema con un esfera que cambia su densidad de carga

en serio??????????????????????. groovyyyy¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ya me siento mejor conmigo misma yupi¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ MUCHAS GRACIAS¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡.

[GNzcuber]

Re: probllema con un esfera que cambia su densidad de carga

$\rho = A \cdot r^2<br /> Q_{int} = \int_V \rho \cdot {d}V = \int_V A \cdot r^2 \cdot {d}V = 4 \pi \cdot A \int_0^R r^4 \cdot {d}r = 4 \pi \cdot A \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^R = \frac{4}{5} \pi \cdot A \cdot R^5$

$\Phi_{(r>R)} = \oint_{S} \vec{E}_{(r>R)} \cdot {d} \vec{S} =* E_{(r>R)} \oint_{S} {d}S = E_{(r>R)} \cdot 4\pi \cdot R^2 = \frac{Q_{int}}{\epsilon_{0}} \Rightarrow \vec{E}_{(r>R)} = \frac{A \cdot R^5}{5\epsilon_{0} \cdot r^2} \hat{r}$
Usando algunas simetrías para simplificar:
$*\left\{ \begin{matrix} \vec{E} // {d}\vec{S} \Rightarrow \vec{E} \cdot {d}\vec{S} = E \cdot {d}S \\ \vec{E}(r) uniforme \end{matrix} \right.<br />$
En cuanto al campo creado interiormente:
$\Phi_{(r<R)} = \oint_{S} \vec{E}_{(r<R)} \cdot {d}\vec{S} = E_{(r<R)} \cdot 4\pi \cdot r^2 = \frac{Q'_{int}}{\epsilon_{0}}\Rightarrow E_{(r<R)} = \frac{\frac{4}{5}\pi \cdot A \cdot r^5}{4\pi \cdot \epsilon_{0} \cdot r^2} \rightarrow \vec{E}_{(r<R)} = \frac{A \cdot r^3}{5 \epsilon_{0}} \hat{r}$

Sé que ya estaba respondida la pregunta, pero yo tenía el mismo ejercicio y no sabía si lo tenía bien hasta que leí este post, y me decidí a escribirlo con Tex para simplificar la lectura de otros que vengan. Gracias a ambos, por plantear la duda antes que yo y confirmarla .

[Al2000]

Re: probllema con un esfera que cambia su densidad de carga

El problema de calcular el campo eléctrico que producen distribuciones de carga con simetría esférica [$\rho = \rho_{(r)}$] puede ser resuelto de forma genérica. Partamos del campo que produce una cáscara esférica de radio $R$ con carga $Q$ uniformememte distribuída:

$$E_{(r)} = \left \{ \begin{matrix} &0 &, &0 \le r < R \\ & \dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q {r^2} &, & R \le r < \infty \end{matrix} \right.$$

en donde estoy obviando el carácter vectorial del campo, el cual es radial.

Cuando tenemos una esfera maciza con densidad volumétrica de carga que sólo depende de la dirección radial [$\rho = \rho_{(r)}$], el campo eléctrico puede ser calculado dividiendo la esfera en capas esféricas concéntricas, como si se tratase de una cebolla.

Digamos que dividimos nuestra esfera en capas muy delgadas de radio $0 \le x \le R$ y grosor infinitesimal $dx$. El campo total que producen todas estas capas en un punto situado a la distancia $r$ del centro de la esfera vale

$$E_{(r)} = \int_{x=0}^{x=R} d E_{(x)}$$

En el caso de puntos exteriores a la esfera ($R \le r < \infty$), el valor de $dE$ viene dado por ecuación inferior en (1) y el campo total queda

$$E_{(r)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\int _{x=0}^{x=R} \frac {dq}{r^2} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0 r^2}\int _{x=0}^{x=R} \rho dv = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0 r^2}\int _0^R \rho_{(x)} (4 \pi x^2 dx)$$

$$E_{(r)} = \frac 1 {\epsilon_0 r^2}\int _0^R \rho_{(x)} x^2 dx\,\,,\quad R \le r < \infty$$

En el caso de puntos interiores a la esfera ($0 \le r \le R$), sólo hay que sumar hasta $x = r$, puesto que las capas con radio $x > r$ no producirán campo:

$$E_{(r)} = \frac 1 {\epsilon_0 r^2}\int _0^r \rho_{(x)} x^2 dx\,\,,\quad 0 \le r \le R$$

En resumen

$$E_{(r)} = \left \{ \begin{matrix} &\dst \frac 1 {\epsilon_0 r^2}\int _0^r \rho_{(x)} x^2 dx &, &0 \le r \le R \\ \\& \dst \frac 1 {\epsilon_0 r^2}\int _0^R \rho_{(x)} x^2 dx &, & R \le r < \infty \end{matrix} \right.$$

No debemos olvidar que el campo es un vector y que (6) debe multiplicarse por el vector unitario radial.

Nótese que la minúscula diferencia entre las dos expresiones, cual es el límite superior de la integral, hace una gran diferencia en la función resultante $E_{(r)}$. En la segunda integral el límite superior es una constante y por lo tanto el campo eléctrico varía con el inverso del cuadrado de la distancia, igual que una carga puntual, mientras que en la primera integral el límite superior es variable, lo cual hace de la integral una función de $r$ y la forma resultante de $E_{(r)}$ dependerá de la forma de la función $\rho_{(r)}$.

Saludos,

Al