Otras carreras problema de un diodo

[xxx]

Hola, aqui trango un problema que no puedo resolver, espero su ayuda. muchas gracias..

Me trunque al intentar resolverlo..

Un diodo se compone de un catodo cilindrico de 0.05 cm de radio, montado coaxialmente con un anodo cilindrico de 0.45 cm de radio. El potencial del anodo es de 300 V por encima del catodo. Un electron abandona la superficie del catodo sin velocidad inicial.
¿Cual es su velocidad?
a)Cuando ha recorrido 2 mm hacia el anodo;
b)Cuando llega al anodo.

[Al2000]

Re: problema de un diodo

La segunda pregunta es sumamente sencilla. Lo único que debes hacer es un balance de energía. El electrón atravieza una diferencia de potencial de 300V habiendo partido del reposo. Determina la velocidad igualando su energía cinética con la variación de energía potencial eV.

El primer caso es similar pero primero debes conseguir el potencial a 2 mm del cátodo. Para ello necesitas saber cuanto valer el potencial a cada distancia r en el interior de los dos cilindros (cátodo y ánodo). Puedes guiarte con el cálculo del potencial entre las armaduras de un condensador cilíndrico.

Si te trancas vuelve a preguntar. Saludos,

AA

[xxx]

Re: problema de un diodo

ok, el inciso b ya lo resolvi pero para el a, que formula usuaria,
me podrias explicar con mas detalle, sabiendo que el potencia es la relacion entre la energia potencial entre la carga, .....

[Al2000]

Re: problema de un diodo

ok, el inciso b ya lo resolvi pero para el a, que formula usuaria,
me podrias explicar con mas detalle, sabiendo que el potencia es la relacion entre la energia potencial entre la carga, .....

No hay problema. Para resolver el inciso a) necesitas saber cuanto es el potencial a 2 mm del cátodo, es decir, a 2.5 mm del eje del diodo. Para ello necesitas el potencial como función de la distancia al eje del cilindro. Para no darte directamente la fórmula ni tampoco irme muy lejos, digamos que empezamos con el campo eléctrico (no se que nivel de detalle vas a querer incluir en la solución del problema, pero sería bueno que vieras como se llega a la fórmula en caso de que tengas otro problema similar, o que el profesor te pregunte)

El campo de un filamento varía con el inverso de la distancia radial. Esto es en general cierto para todas las distribuciones de carga con simetría cilíndrica. Normalmente se expresan las ecuaciones en función de las densidades de carga, pero como en este problema no las conocemos, digamos que el campo simplemente varía inversamente a la distancia radial y metamos una constante de proporcionalidad que tenemos que calcular:

$$\boldsymbol E = - \frac k r \boldsymbol u_r$$

He puesto expresamente el signo negativo en atención que en tu diodo el campo se dirige hacia el eje, puesto que el ánodo está en el exterior. La constante $k$ tiene que resultar en un valor positivo.

Tu sabes que el campo está relacionado con el potencial por la ecuación:

$$\boldsymbol E = - \boldsymbol \nabla V$$

Como este problema es unidimensional (el potencial varía sólo con $r$), la ecuación anterior se puede escribir:

$$\boldsymbol E = - \frac {dV}{dr} \boldsymbol u_r$$

Si comparamos las ecuaciones (1) y (3), podemos escribir:

$$\frac {dV}{dr} = \frac k r \quad \Rightarrow \quad \int_0^V dV = k \int_{r_c}^r \frac {dr} r$$

en donde le estamos asignando arbitrariamente el valor $V=0$ al potencial del cátodo. Nos queda entonces que

$$V = k \ln \frac r {r_c}$$

En esta ecuación puedes ver que $V_{(r_c)} = 0$, tal como establecimos en los límites de la integral. El valor de $k$ lo obtenemos al imponer la condición de que el potencial del ánodo vale $V_a$ (en tu caso, 300V):

$$V_a = k \ln \frac {r_a} {r_c} \quad \Rightarrow \quad k = \frac {V_a}{\ln ({r_a}/r_c)}$$

y finalmente, al sustituir $k$ en (5), tenemos que:

$$V = \frac {V_a}{\ln (r_a/r_c)} \ln \frac r {r_c}$$

Sustituye valores asegurándote de que las unidades son consistentes y listo.

Saludos,

AA

PD. Si no quieres hacer la solución del problema muy larga podrías partir de que conoces que el potencial para un problema con simetría cilíndrica viene dado por la ecuación (5) y después de ajustar la constante calcular el potencial, sin meter todo lo concerniente al campo eléctrico.