1r ciclo problema varilla y potencial

[MIMOSA]

hoda, espero me puedan guiar con este problemita, gracias¡¡¡
una varilla delgada se coloca a lo largo del eje z. uno de sus extremos se encuentra en z=-d y el otro en z=d. la varilla se ha cargado uniformemente con una densidad de carga lineal alfa. para esta distribucion de carga a) calcula el potencial en el punto P1 sobr ele eje z con coordenadas (0,0,2) b) encuentra el puno p2 en el eje x tal que el potencial en ese punto tenga el mismo valor que en p1.
de antemano gracias por su ayuda y su tiempo,

[Al2000]

Re: problema varilla y potencial

Revisa el enunciado de tu problema. Así como está planteado se está pidiendo el potencial el punto z=2 que bien podría estar sobre el filamento que se extiende de -d hasta d. En ese caso el potencial no estaría definido.

Saludos,

AA

[MIMOSA]

Re: problema varilla y potencial

asi esta escrito, pero me dijeron que considerara que d es menor que 2. y por que si si d e mayor que dos no esta definido?

[Al2000]

Re: problema varilla y potencial

Bueno amiga, esperaba mejores noticias porque el problema planteado en esos términos no es difícil pero si engorroso. Primero respondo tu pregunta: el potencial no estaría definido porque la densidad volumétrica de carga es infinita, ya que estás tomando el cuerpo como un filamento de grosor cero.

Como tienes que calcular el potencial tanto en el eje $z$ como en el eje $x$, resolvamos el problema una sola vez en un punto cualquiera del espacio y luego haces cero la coordenada correspondiente. El problema tiene simetría cilíndrica y el potencial será independiente de $\theta$, el ángulo alrededor del filamento. Yo voy a omitir el ángulo tanto en el dibujo como en los cálculos para ahorrar escritura.



Con referencia a la figura, el potencial de un pedacito de longitud infinitesimal $d \zeta$ es

$$dV = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\frac {dq}R = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0}\frac {d\zeta}{\sqrt{r^2 + (z-\zeta)^2}}$$

Integrando entre $-d$ y $d$, tenemos

$$V = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0} \int_{-d}^d \frac {d \zeta}{\sqrt{r^2 + (z-\zeta)^2}}$$

es decir

$$V = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0} \ln \frac{z+d+\sqrt{r^2+(z+d)^2}}{z-d+\sqrt{r^2+(z-d)^2}}$$

Bueno amiga, te queda el trabajito de determinar el potencial en $r=0, z=2$ y con lo que te de ese cálculo buscar la coordenada en el eje $x$ que te de el mismo valor.

Como una ayudita adicional, cuando hagas esa segunda parte y pongas en la ecuación (3) $r=x$ y $z=0$, el potencial te va a quedar

$$V = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0} \ln \frac{d+\sqrt{x^2+d^2}}{-d+\sqrt{x^2+d^2}}$$

ecuación que puedes manipular así

$$V = \frac \lambda {4 \pi \epsilon_0} \ln \left(\frac{d+\sqrt{x^2+d^2}}{-d+\sqrt{x^2+d^2}}\cdot \frac{-d-\sqrt{x^2+d^2}}{-d-\sqrt{x^2+d^2}} \right) = \frac \lambda {2 \pi \epsilon_0} \ln \frac {d+\sqrt {x^2+d^2}} x$$

para que te quede mas manejable. La igualas al valor del potencial que obtuviste antes y despejas $x$.

Saludos,

AA

[MIMOSA]

Re: problema varilla y potencial

ooooo ya entendi, gracias gracias¡¡¡, jeje solo una pregunta, medio boda, en el dibujin el triangulito al punto se podria decir que es como si el puntitio estuviera en el plano xZ nop? sino tendriamos una figurita mas comlicada nop?. y tendriamos que incluir la coordenada y,( claro que en este caso no es necesario). gracias por tu ayuda en serio gracias¡¡¡¡