2o ciclo Capacitancia (Ley de Gauss)

[rruisan]

Buenas noches! Tengo el siguiente problemas les agradeciria si alguien me puede orientar como empezar a resolverlo. De antemano muchas gracias!

Un capacitor simple es un dispositivo formado por dos conductores adyacentes aislados. si cargas iguales y opuestas son colocadas en los conductores, existira cierta diferencia de potencial entre ellos. La razon de la magnitud de la carga de un conductor sobre la diferencia de potencial es llamada capacitancia, que en el SI se mide en farads. Usando la Ley de Gauss calcule la capacitancia de

a) dos hojas conductoras planas de area A separadas por un distancia d;

b) dos esferas conductoras de radio a y b (b>a).

[Al2000]

Re: Capacitancia (Ley de Gauss)

Estrictamente hablando con el Teorema de Gauss no vas a calcular la capacitancia, sino mas bien el campo. Idealiza el capacitor y considera que el campo es uniforme entre las placas y nulo en el exterior, cosa que sólo sería cierta si las placas fuesen infinitas pero que es una buena aproximación cuando la separación entre las placas es pequeña comparada con las dimensiones de éstas (lo cual es usualmente cierto). Determina el campo eléctrico. Puedes guiarte para determinar el campo por el método para resolver el plano infinito. Deberás llegar a ésta expresión para el campo: $\dst E = \frac q {\epsilon_0 A}$, donde $q$ es la carga sobre cada placa. Con el campo y la relación $\dst V = - \int \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l$ puedes determinar la diferencia de potencial entre las placas. Debes llegar a la expresión $\dst V = \frac {q d}{\epsilon_0 A}$. Despeja $C = q/V$ y listo.

Para el caso b) es el mismo procedimiento: Teorema de Gauss --> campo entre las esferas (mismo de una carga puntual) --> diferencia de potencial --> capacitancia.

Cuando calcules la diferencia de potencial, integra desde la armadura negativa hasta la positiva de modo que la diferencia de potencial te resulte positiva. La capacidad por definición es positiva siempre.

Si quieres mas detalles de algún paso que no te resulte claro, vuelve a preguntar. Saludos,

Al

[rruisan]

Re: Capacitancia (Ley de Gauss)

una pregunta como me puedo guiar a traves del plano infinito si tengo dos placas! y para el inciso b) como puedo considerar los radios! al integrar

[Al2000]

Re: Capacitancia (Ley de Gauss)

Por una parte puedes considerar el condensador como dos planos infinitos paralelos con densidades de carga iguales en valor absoluto y de distinto signo. El campo resultante será el doble del campo del plano infinito en el espacio entre los planos y cero en el resto del espacio. La secuencia sería entonces: Teorema de Gauss --> campo plano infinito --> campo entre placas (superposición) --> diferencia de potencial --> capacidad. Sin embargo, es mas sencillo calcular directamente el campo en el interior del condensador tomando una superficie gaussiana que encierre completamente la superficie cargada de una placa, con un lado de la superficie gaussiana en el interior de la placa y la otra cara en el espacio entre las placas. Sólo habrá flujo en la parte de la superficie gaussiana entre las placas, ya que el campo es nulo en el conductor.

Para la parte b), asumiendo que la esfera interna de radio $a$ esté cargada positivamente, entonces el campo apunta radialmente hacia afuera y vale $\dst \boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {r^2} \boldsymbol u_r$. La diferencia de potencial entre las esferas se calcula

$\dst V = V_{+}-V_{-} = - \int _\text {placa negativa}^\text {placa positiva} \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l = - \int_b^a \left(\frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {r^2} \, \boldsymbol u_r \right) \boldsymbol \cdot (dr \, \boldsymbol u_r) = \frac q {4 \pi \epsilon_0}\left(\frac 1 a - \frac 1 b\right)$

OK, el resto es carpintería. Saludos,

Al