Avanzado Campo de un dipolo y momento dipolar

[Aradan]

Holas, tengo una duda respecto a los dipolos
El potencial es

$\dst \phi=\frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}=\frac{\vec{p}\cdot \hat{r}}{r^2}=\frac{p \cos \theta}{r^2}$

Y para sacar el campo, hay que sacar el gradiente,
$\dst \vec{E}=\frac{2p\cos \theta}{r^3}\hat{r}+\frac{p}{r^3}\sin \theta \hat{\theta}$

En cartesianas queda $\dst \frac{3(\vec{p} \cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{p}}{r^3}$
Esto no se como obtenerlo directamente desde el resultado en polares (si derivo en cartesianas si da la expresion)

Mi otra duda es , que en r=0 queda indefinido, por lo que tomamos una esfera como superficie y utilizamos el Teorema de la Divergencia. Lo que no se, es como obtener el resultado

$\dst \int_V \vec{E} dV = -\frac{4\pi}{3} \vec{p}$

ya que aparece un 3 ahi, no se de donde


Gracias

[Al2000]

Re: Campo de un dipolo y momento dipolar

Por favor, edita tus ecuaciones y pon "\dst" al principio de cada una, yo casi no las puedo leer. Tu tercera ecuación no es dimensionalmente correcta.

Saludos,

Al

[Aradan]

Re: Campo de un dipolo y momento dipolar

Ok, ya lo edité

[Al2000]

Re: Campo de un dipolo y momento dipolar

...
Y para sacar el campo, hay que sacar el gradiente,
$\dst \vec{E}=\frac{2p\cos \theta}{r^3}\hat{r}+\frac{p}{r^3}\sin \theta \hat{\theta}$

En cartesianas queda $\dst \frac{3(\vec{p} \cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{p}}{r^3}$
Esto no se como obtenerlo directamente desde el resultado en polares (si derivo en cartesianas si da la expresion)
...

Ajá, ya tuve chance de revisar y consigo que el campo del dipolo en forma vectorial lo puedes obtener a partir del campo en coordenadas polares si te fijas en dos cosas:

- $\dst p \cos \theta \,\boldsymbol u_r = (\boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r)\, \boldsymbol u_r$
- $\boldsymbol p = p \boldsymbol u_x = p (\cos \theta \, \boldsymbol u_r - \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_\theta)$

Entonces, usando la segunda expresión para eliminar el factor $\dst p \, \mathrm {sen} \, \theta \, \boldsymbol u_\theta$, el campo se puede escribir

$\dst \boldsymbol E = \frac {2 (\boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r)\,\boldsymbol u_r}{r^3}+ \frac 1 {r^3}[ (\boldsymbol p \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r)\,\boldsymbol u_r - \boldsymbol p ]$

y de allí sale la expresión del campo.

Con respecto a la otra expresión, me imagino que te comiste el operador Nabla y que integral que pusiste es la integral de volumen de la divergencia del campo eléctrico? La verdad es que no me ubico pero también puede ser que me confunde que estás usando el sistema gaussiano y no estoy acostumbrado. Deberé revisar... a ver si consigo el Purcel que no se en donde se habrá metido

Saludos,

Al

[Aradan]

Re: Campo de un dipolo y momento dipolar

Gracias por tu respuesta.
Respecto a la integral, es más que nada usar una de las formas del Teorema de Gauss

$\dst \int_V \vec{E} dV =\int_V -\nabla \phi dV=-\int_A \phi d\vec{a}$

El problema es que el potencial tiene un cos y al integrar sobre una esfera se me anularía con el sen del angulo solido Creo que estoy haciendo algo mal, pero no lo veo

[Al2000]

Re: Campo de un dipolo y momento dipolar

Mi problema con esa expresión es que estás el campo en un volumen. Te soy honesto, primera vez que lo veo. Por eso te preguntaba si no te estabas dejando el operador Nabla y que la integral que estás planteando es $\dst \int_V \boldsymbol \nabla \boldsymbol \cdot \boldsymbol E \, dV$, la cual sería el flujo de E en la superficie que limita al volumen y que por supuesto resultaría cero pues la superficie encierra un dipolo, que es carga neta cero.

Saludos,

Al

[Aradan]

Re: Campo de un dipolo y momento dipolar

Nop, está bien. La idea es dejarlo bien definido con una delta de Dirac, entonces solo se integra el campo alrededor del dipolo
La idea es pasarlo a una integral de superficie, como sale ahí, el problema es que no obtengo el resultado :/
El problema está en el Greiner de Electrodinámica, página 26

Gracias por tu tiempo

[Aradan]

Re: Campo de un dipolo y momento dipolar

Ya lo resolvi !

Lo unico que debía hacer es $\dst \hat{e}_r=\cos\theta \hat{x}+\sin\theta \hat{y}$

Eso va dentro e la integral, y $\dst p = p \cos\theta \hat{e}_r$

Entonces, con el ángulo sólido, finalmente la integral me queda

$\dst -2\pi p\int_{o}^{\pi} (\cos\theta \hat{x}+\sin\theta \hat{y})\sin\theta\cos\theta d\theta$

La componente en y se anula y queda

$\dst -\frac{4\pi}{3}\vec{p}$

De tal manera que ahora podemos escribir

$\dst \vec{E}=\frac{3(\vec{p} \cdot \hat{r})\hat{r}-\vec{p}}{r^3} -\frac{4\pi}{3}\vec{p}\delta(\vec{r})$


Mil gracias