Otras carreras Resolución de un transitorio

[Pinucset]

Hola, he estado intentando resolver el problema que adjunto con su imagen
Y no lo he logrado conseguir, si bien consigo llegar a que i=2,5exp(-2,5e4t)A no consigo resolverlo después del cambio de señal.

Lo que yo hago es plantear la ecuación diferencial:
$\int _{i _\tau} ^i \dfrac{di}{i}= - \int _{\tau} ^t \dfrac{dt}{0,005}$

Y para integrarla hallo $i_\tau$ mediante la expresión de la primera parte, pero se me simplifica todo y llego al mismo resultado. He pensado en hallar la q en función del tiempo i hallar i en las leyes de Kirchoff de la segunda parte sustituyendo q, pero viene a ser lo mismo, no?

No sé, a ver si me podeis guiar.

Un saludo y gracias de antemano!

[Al2000]

Re: Resolución de un transitorio

No te voy a echar el cuento completo porque seguramente tu conoces bien el circuito RC. Solamente quiero partir de una base conocida.

Cuando calculas la ecuación de carga del circuito RC

$$R \frac {dq}{dt} + \frac q C = \mathcal E$$

llegas a la integral

$$\int \frac {dq}{\mathcal E/R - q/RC} = \int dt$$

Esta integral usualmente se evalúa imponiendo la condición de que el condensador está descargado para t = 0 y se obtienen

$$Q_{(t)} = C \mathcal E \left( 1 - \ee ^{-t/\tau }\right)\,,\quad i_{(t)} = \frac {\mathcal E} R \ee ^{-t/\tau }, \, \quad \tau = RC$$

que son las conocidas ecuaciones de carga del condensador y corriente en el circuito RC. Pero si el condensador tiene una carga inicial, el asunto sería

$$\int_{Q_0}^Q \frac {dq}{\mathcal E/R - q/RC} = \int_0^t dt$$

$$Q_{(t)} = C \mathcal E \left( 1 - \ee ^{-t/\tau }\right) + Q_0 \, \ee ^{-t/\tau }\,,\quad i_{(t)} = \frac {\mathcal E} R \ee ^{-t/\tau } - \frac {Q_0}{RC} \ee ^{-t/\tau }$$

que no es mas que la superposición del proceso de carga y el proceso de descarga del condensador (te dejo a ti la comprobación de los pasos intermedios).

Tomando en cuenta que en tu circuito la polaridad de la segunda fuente es opuesta a la de la primera, la carga inicial del condensador habría que tomarla negativa. OK, las cuentas son así:

Corriente inicial (ec. 3): $\dst i_{(t)} = \frac {\mathcal E_1} R \ee ^{-t/\tau}$

Carga en $t=\tau$ (ec. 3): $\dst Q_0 = C \mathcal E_1 \left( 1 - \ee ^{-1}\right)$

Corriente final (ec. 5): $\dst i_{(t)} = \frac {\mathcal E_2} R \ee ^{-(t-\tau)/\tau}+ \frac {Q_0}{RC}\ee ^{-(t-\tau)/\tau} = \frac {\mathcal E_2 + \mathcal E_1 (1-1/\ee )} R \ee ^{-(t-\tau)/\tau}$

Espero esto te sirva. Saludos,

Al

[Alriga]

En el circuito de la figura se pone el interruptor en la posición 1 en el instante t=0 y se conmuta a la posición 2 después de una constante de tiempo. Hallar las expresiones en el régimen transitorio de la corriente en ambos intervalos de tiempo.

1) Procedemos a la resolución de este ejercicio analizando el circuito en el dominio operacional, (transformadas de Laplace). El circuito de la izquierda corresponde al interruptor cerrado en la posición 1.

La impedancia:

$X_C(s)=\dfrac 1{0.000005 \ s}=\dfrac{20000}s$

$Z(s)=100+\dfrac{20000}s$

La corriente, con el sentido señalado en el circuito de la izquierda:

$I_1=\dfrac{\dfrac{50}s}{100+\dfrac{20000}s}=\dfrac 1{2s+400}$

$I_1(s)=\dfrac{\dfrac 1 2}{s+200}$

La tensión en el condensador:

$U_C=X_C \cdot I_1=\dfrac{20000}s \ \dfrac{\dfrac 1 2}{s+200}=\dfrac{10000}{s(s+200)}$

$U_C(s)=\dfrac{50}s-\dfrac{50}{s+200}$

Realizamos las transformadas inversas de Laplace:

$$i_1(t)=\dfrac 1 2 \ \ee^{-200 t} \qquad ( t < \tau=0.005 )$$

$u_C(t)=50-50 \ \ee^{-200 t}$

La constante de tiempo* es el inverso del factor que multiplica al tiempo en la exponencial negativa:

$\tau=\dfrac 1{200}=0.005$ segundos

Transcurrido un tiempo $\tau=0.005$ segundos la tensión en el condensador será:

$u_C(0.005)=50-50 \ \ee^{-1}=31.60603$ V


2) Esa es la tensión inicial en el condensador en el momento que el interruptor pasa a la posición 2 y el circuito a estudiar es el de la derecha. Ahora la nueva corriente, con el sentido señalado ahí se calcula:

$I_2=\dfrac{\dfrac{20}s+\dfrac{31.60603}s}{100+\dfrac{20000}s}=\dfrac{51.6063}{100s+20000}$

$I_2(s)=\dfrac{0.51606}{s+200}$

Realizamos la transformada inversa de Laplace:

$i_2(t)=0.51606 \ \ee^{-200 t'}$

Y teniendo en cuenta que:

$t=\tau + t'$

$i_2(t)=0.51606 \ \ee^{-200 (t-\tau)}$

$$i_2(t)=0.51606 \ \ee^{-200 (t-0.005)} \qquad ( t > \tau=0.005 )$$

Saludos.

* Por tratarse de un circuito serie RC, la constante de tiempo (el inverso del factor que multiplica al tiempo en la exponencial negativa) debe ser precisamente $\tau = RC$ , comprobémoslo:

$\tau=100\cdot \notcien{50}{-6}=5 \ ms$