1r ciclo Problema: Conductor esférico cargado no uniformemente.

[GNzcuber]

¡Hola a todos!

Nuevamente tengo un problema, pero este me cuesta de visualizar:

En una cierta región existe una distribución de carga con simetría esférica pero no uniforme. Es decir, la densidad volúmica de carga $\rho(r)$ depende de la distancia r del centro de la distribución, pero no de los ángulos polares esféricos $\theta$ y $\phi$. El potencial eléctrico debido a esta carga es:

$$\dst V(r)=\left\{\begin{aligned}\frac{\rho_0 a^2}{18\epsilon_0}\left[1-3\left(\frac{r}{a}\right)^2+2\left(\frac{r}{a}\right)^3\right]\qquad\text{para}\ r\le a\\ 0 \qquad \text{para}\ r \ge a\end{aligned}\right.$$

Donde $\rho_0$ es una constante con unidades C·m⁻³ y a es una constante con unidades de m.

a) Calcula el campo eléctrico para las regiones $r\ge a$ y $r\le a$. Explica por qué el campo eléctrico nomás tiene componente radial.

$\dst \vec{E}_{r\le a}=-\frac{\partial{V}}{\partial{r}}\vec{r} = \frac{\rho_0}{3\epsilon_0}\left[r-\frac{r^2}{a}\right]\vec{r}$

$\dst \vec{E}_{r\ge a}=-\frac{\partial{V}}{\partial{r}}\vec{r} = 0$

¿Cómo es posible que una carga en el exterior produzca un campo igual a cero? Lo único que me puedo imaginar que la carga a partir de un radio se vuelva negativa. Pero igualmente me asegura que para todo radio mayor que a el potencial y por tanto el campo serán cero.

b) Obtén una expresión para $\rho(r)$ en cada una de las regiones $r\le a$ y $r\ge a$. Sugerencia: utiliza la ley de Gauss para dos capas esféricas, una de radio r y otra de radio r + dr. La carga contenida en una capa esférica infinitesimal es ${d}q = 4\pi r^2\rho(r){d}r$.

$$\dst \Phi_{(r\le a)} = \oint_S\vec{E}{d}\vec{S}=\frac1{\epsilon_0}\int_V\rho(r){d}V \rightarrow E\int 8\pi r{d}r=\frac1{\epsilon_0}\int\rho(r)4\pi r^2{d}r$$

Con ${d}S = {d}(4\pi r^2) = 8\pi r{d}r$ y ${d}V = {d}(\frac4{3}\pi r^3) = 4\pi r^2{d}r$

Ahora derivo la igualdad respecto a r:

$$\dst \frac{d}{{d}r}\left(8\pi E\int r{d}r\right) = \frac{d}{{d}r}\left(\frac{4\pi}{\epsilon_0}\int\rho(r)r^2{d}r\right) \rightarrow$$

$$\dst 8\pi Er=\frac{4\pi r^2\rho(r)}{\epsilon_0} \Rightarrow \rho(r)=\frac{2\epsilon_0}{r}E=\frac2{3}\rho_0\left(1-\frac{r}{a}\right)$$

Para $r\ge a$ el campo eléctrico es nulo así como el flujo, por Gauss $\dst \Phi_{(r\ge a)}=\frac{Q_{int}}{\epsilon_0}\Rightarrow Q_{int}=0$. Al estar fuera de la esfera conductora, ésta actúa como si toda la carga estuviese concentrada en en el centro, es decir como si estuviera cargada uniformemente con una carga Q repartida en todo su volumen uniformemente, y por tanto $\dst \rho(r\ge a)=\frac{Q_{int}}{V}=0$.
Pero como he dicho anteriormente, no veo por qué el campo eléctrico tiene que ser cero.

Observación: no he usado exactamente la sugerencia porque no veo cómo puedo operarlo y por ello no sé si pueda estar bien.

c) Demuestra que la carga neta contenida en el volumen de una esfera de radio mayor o igual a a es cero.
Sugerencia: integra las expresiones obtenidas en el apartado b) para $\rho(r)$ sobre un volumen esférico de radio mayor o igual que a. ¿Este resultado es consistente con el campo eléctrico para $r\ge a$ obtenido en a)?

Si integro (2), después de haberlos multiplicado por ${d}r$

$\dst \int\rho(r){d}r=\frac2{3}\rho_0\left[r-\frac{r^2}{2a}\right]_{r=?}^{r=?}$

No sé cuáles son los límites de integración de (1) ni en la ecuación anterior. No veo lícito multiplicar sin justificación por ${d}r$ ni qué me tendría que dar porque debería hacerlo por el volumen y de esa manera lógicamente que me tendría que dar lo mismo porque es lo que he derivado.
Y si integrase $\rho(r\ge a)$ me daría:

$\dst \int_V\rho(r\ge a){d}V=\int 0=C=V_r$ y supongo que debería hacer esto: $\dst V_r=\frac{\rho_0a^2}{18\epsilon_0}\left[1-3\left(\frac{r}{r}\right)^2+2\left(\frac{r}{r}\right)^3\right]=0 \Rightarrow V_r=0$ Para que sea consistente debería derivar esta expresión y es de donde había partido.

¿Qué estoy haciendo mal?¿Por qué me da el campo cero?

Muchas gracias!

[Al2000]

Re: Problema: Conductor esférico cargado no uniformemente.

a) Ninguna observación.

b) Teorema de Gauss en forma diferencial (1a Ley de Maxwell):

$\dst \boldsymbol \nabla \boldsymbol \cdot \boldsymbol E = \frac \rho {\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} \left [r^2 \cdot \frac {\rho_0}{3\epsilon_0} \left( r - \frac {r^2} a\right)\right] = \frac {\rho _{(r)}}{\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad \rho_{(r)} = \rho_0 \left( 1 - \frac {4r}{3a}\right)$

También puede ser hecho directamente con la ecuación de Poisson, $\nabla^2 V = -\rho /\epsilon_0$

c) $\dst Q = 4 \pi \int_0^a \rho_{(r)} r^2 \, dr = 0$

El campo en $r>a$ da cero porque la carga total es cero. Fíjate que a densidad de carga se hace negativa para $r > \frac 3 4 a$.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Problema: Conductor esférico cargado no uniformemente.

...

b) Obtén una expresión para $\rho(r)$ en cada una de las regiones $r\le a$ y $r\ge a$. Sugerencia: utiliza la ley de Gauss para dos capas esféricas, una de radio r y otra de radio r + dr. La carga contenida en una capa esférica infinitesimal es ${d}q = 4\pi r^2\rho(r){d}r$.

$$\dst \Phi_{(r\le a)} = \oint_S\vec{E}{d}\vec{S}=\frac1{\epsilon_0}\int_V\rho(r){d}V \rightarrow E\int 8\pi r{d}r=\frac1{\epsilon_0}\int\rho(r)4\pi r^2{d}r$$

Con ${d}S = {d}(4\pi r^2) = 8\pi r{d}r$ y ${d}V = {d}(\frac4{3}\pi r^3) = 4\pi r^2{d}r$

Ahora derivo la igualdad respecto a r:

$$\dst \frac{d}{{d}r}\left(8\pi E\int r{d}r\right) = \frac{d}{{d}r}\left(\frac{4\pi}{\epsilon_0}\int\rho(r)r^2{d}r\right) \rightarrow$$

$$\dst 8\pi Er=\frac{4\pi r^2\rho(r)}{\epsilon_0} \Rightarrow \rho(r)=\frac{2\epsilon_0}{r}E=\frac2{3}\rho_0\left(1-\frac{r}{a}\right)$$

Para $r\ge a$ el campo eléctrico es nulo así como el flujo, por Gauss $\dst \Phi_{(r\ge a)}=\frac{Q_{int}}{\epsilon_0}\Rightarrow Q_{int}=0$. Al estar fuera de la esfera conductora, ésta actúa como si toda la carga estuviese concentrada en en el centro, es decir como si estuviera cargada uniformemente con una carga Q repartida en todo su volumen uniformemente, y por tanto $\dst \rho(r\ge a)=\frac{Q_{int}}{V}=0$.
Pero como he dicho anteriormente, no veo por qué el campo eléctrico tiene que ser cero.

Observación: no he usado exactamente la sugerencia porque no veo cómo puedo operarlo y por ello no sé si pueda estar bien.

...

¿Qué estoy haciendo mal?¿Por qué me da el campo cero?

...

Cuando te respondí estaba apurado y no pude hacerte un par de comentarios respecto a lo que hiciste. Las observaciones que te quiero hacer son con espíritu constructivo y no por el simple gusto de criticar. Además, preguntaste que hiciste mal

Mi primer ¿consejo? sería que si estás usando $V$ para el potencial, usases $v$ o algún otro símbolo para el volumen, pues se pone confusa la cosa.

Mi segunda inquietud es con la expresión

Con

la cual representaría el incremento del área de una superficie esférica cuando se incrementa el radio. ¿Pero qué diablos es $dS$? ¿Es alguna superficie reconocible o solo el valor matemático del incremento del área? Y lo mas crítico, ¿es una superficie cerrada? Como ejercicio de imaginación pensemos en un globo esférico el cual pintamos con una delgada capa de pintura frágil y no extensible. Si ahora inflamos un poquito el globo, aparecerían grietas en la pintura. Esas grietas serían precisamente $dS$. Bueno, yo no me animaría a llamar a eso una superficie cerrada (por lo cual no podría usar el teorema de Gauss).

Mi tercera objeción a lo que hiciste es de algo mas directo, un mero pasar por alto un detalle importante: el campo electrico no es constante sino que depende de $r$ O sea que al "sacarlo" de la integral y mas adelante al tratarlo como una constante al derivar te pelaste.

Bueno no te digo mas porque te vas a enfadar conmigo y esa no es la idea. Si te interesa saber como se resolvería el problema usando la sugerencia (lo que básicamente es deducir la divergencia) con gusto te lo muestro.

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Problema: Conductor esférico cargado no uniformemente.

Hola Al!

No te preocupes, puedes criticar todo lo que hice, estoy para aprender de mis errores para no cometerlos más adelante. Sobre el potencial y el volumen, estoy tan acostubrado a usarlos así que ni me he dado cuenta. Cuando vi tu primer mensaje me di cuenta que había sacado el campo eléctrico como algo constante y lo intenté hacer nuevamente, pero me da otra expresión diferente a la que te ha dado a ti.

Con $dS$ me sonaba raro lo que estaba haciendo, más bien porque nunca había visto ese "resultado" ($8\pi r{d}r$), sin embargo me parecía coherente con lo que acostumbraba a hacer.

Considero que nadie se debería enfadar porque le corrijan, y mucho menos si estamos en un ámbito en el que queremos aprender de los que ya saben. Como te he dicho yo no me enfado y mientras más detalles me encuentres y me digas más podré mejorar o pulirlos.

Los resultados que pusistes anteriormente me cuesta de entenderlos, la ecuación de Poisson nunca la había visto y la otra tampoco. Sé que es la divergencia, gradiente, rotacional y laplaciana, por lo menos las definiciones y una pequeña noción, sin embargo en clase no lo hemos hecho y por mucho que lo entienda, que no es el caso, no puedo hacerlo de esa manera.

Sobre la nulidad del campo que no veía por qué, a pesar de que intuía que la carga cambiaba de signo en determinado radio, era porque me estaba imaginando una esfera infinita, es decir no de radio "a", y mi duda principal que me confundía era qué carga tenía con un radio mayor que "a" que en cualquier punto de $r\ge a$ el campo siempre era cero. Pero ahora lo veo claro .

Y otra cosa que la he hecho pero no veía correcto fue derivar dos expresiones para igualarlas, sin mencionar el que como has dicho he sacado que el campo eléctrico era constante. Con lo que he hecho se puede decir que uno es igual a dos, nomás hace falta derivarlos e igualarlos.

Te agradezco todo, y no te cortes, corrige .

[Al2000]

Re: Problema: Conductor esférico cargado no uniformemente.

Los resultados que pusistes anteriormente me cuesta de entenderlos, la ecuación de Poisson nunca la había visto y la otra tampoco. Sé que es la divergencia, gradiente, rotacional y laplaciana, por lo menos las definiciones y una pequeña noción, sin embargo en clase no lo hemos hecho y por mucho que lo entienda, que no es el caso, no puedo hacerlo de esa manera.

La divergencia de $\boldsymbol E$ sería el caso límite del Teorema de Gauss cuando la superficie gaussiana se reduce hasta un punto. Algunos autores lo llaman el flujo por unidad de volumen. Te permite asociar el campo en un punto del espacio con la densidad de carga existente en ese punto, a diferencia de la forma integral que te asocia el flujo en una superficie con la carga total encerrada por la superficie.

Si no puedes hacerlo de esa forma, entonces hazlo siguiento la sugerencia del problema y calcula el flujo neto a través de las superficies esféricas de radios $r$ y $r+dr$

$\dst d \Phi_E = E_{r+dr} [4 \pi (r+dr)^2] - E_r (4 \pi r^2) = \frac {\rho (4 \pi r^2 dr)}{\epsilon_0}$

$\dst r^2 (E_{r+dr}-E_r) + (2 r dr + dr^2) E_{r+dr} = \frac \rho {\epsilon_0} r^2 dr$

Descartando el infinetésimo de segundo orden y escribiendo $\dst E_{r+dr}-E_r = \left( \frac {dE}{dr}\right) dr$ queda

$\dst r^2 \left( \frac {dE}{dr}\right) dr + 2 r E \,dr = \frac \rho {\epsilon_0} r^2 dr \quad \Rightarrow \quad \rho = \epsilon_0 \left ( \frac {dE}{dr} + \frac 2 r E\right)$

que por supuesto es lo mismo que lo calculado por la divergencia.

La ecuación de Poisson se obtiene cuando combinas el Teorema de Gauss, $\boldsymbol \nabla \boldsymbol \cdot \boldsymbol E = \rho /\epsilon_0$, con el gradiente del potencial $\boldsymbol E = - \boldsymbol \nabla V$.

Sobre la nulidad del campo que no veía por qué, a pesar de que intuía que la carga cambiaba de signo en determinado radio, era porque me estaba imaginando una esfera infinita, es decir no de radio "a", y mi duda principal que me confundía era qué carga tenía con un radio mayor que "a" que en cualquier punto de el campo siempre era cero. Pero ahora lo veo claro .

Tu estás en libertad de considerar que la carga ocupa todo el espacio infinito y tomar tus límites de integración a todo el espacio $[0,\infty)$ pero como la densidad de carga vale cero para $r>a$, la contribución de esta parte de la integral a la carga total es cero.

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Problema: Conductor esférico cargado no uniformemente.

Hola nuevamente!

Quiero resolver ciertas dudas:
¿A qué equivaldría ${d}S$ de una esfera? O sea ¿Cómo incrementa de superficie una esfera en un aumento infinitesimal de radio? Aunque ya me has mostrado que ${d}S\neq 8\pi r{d}r$ no veo cuál podría ser.
Porque estás tomando ${d}S$ como la superficie de toda la esfera en las integrales de flujo.

Supongamos que tenemos una carga uniformemente distribuida en una esfera, el flujo sería por tanto $\dst \Phi_E = \oint_S\vec{E}{d}\vec{S} = E\oint_S{d}S = E\cdot S$ y ¿Qué tal si quisiera ver el ritmo de cambio del flujo? Pues tendría:

$\dst {d}\Phi_E={d}\left(\oint_S E{d}S\right) = E\cdot {d}S$ Y por tanto necesitaría saber cómo varía la superfície esférica con la variación de radio, que es lo anterior.

La otra parte la veo clara porque me quedaría $\dst \frac{{d}Q_{int}}{\epsilon_0}$ y ya en este caso sabemos que ${d}q=\rho(r){d}V=\rho(r)\cdot 4\pi r^2{d}r$.

Cuando descartamos ${d}r^2$ es porque es el ritmo de variación de la variación del radio y por ello no tiene mucho sentido, pero si hay más motivos, además que si ${d}r$ es infinitamente pequeño, entonces [tex]{d}r^2[tex] será aún menor, me gustaría saberlos.
Por otro lado ${d}r^2=2r{d}r$, pero supongo que lo que hago es operacional y realmente ${d}r^2$ es notación para indicar un infinitésimo de segundo orden.
Y ya que estoy, me gustaría saber qué significado tendría ${d}^2r$ a secas, es decir respecto a nada.

Más dudas, esto sobre la divergencia:
Yo tengo en mi mente el concepto de "la función que a todo campo vectorial lo transforma en escalar" y eso supongo que no es más que asignarle a cada punto del espacio un número, siendo éste el módulo del campo vectorial en ese punto. Y el gradiente "la función inversa" sí, sé que no es inversa pero el gradiente es la función que le asigna a cada campo escalar un campo vectorial de manera que siempre apunte en dirección de crecimiento.

Muchas gracias!

Saludos!

[Al2000]

Re: Problema: Conductor esférico cargado no uniformemente.

¿A qué equivaldría de una esfera? O sea ¿Cómo incrementa de superficie una esfera en un aumento infinitesimal de radio? Aunque ya me has mostrado que no veo cuál podría ser.

Yo no te dije que $dS$ no fuese ese valor, sino que mi duda estaba en que esa cantidad pueda ser considerada una superficie cerrada. Por ejemplo, si uno toma un rectángulo $ab$ e incrementa una cantidad infinitesimal la longitud de un lado, la cantidad $dS = a \cdot db$ es fácil de asociar con una franja de longitud $a$ y ancho $db$ añadida al rectángulo original. Pero con una superficie esférica ¿cómo queda la cosa? Lo mejor que me he podido imaginar es inflar un globo y asociar el $dS$ con el espacio nuevo creado como el símil de la pintura agrietada que te mencioné anteriormente.

Porque estás tomando como la superficie de toda la esfera en las integrales de flujo.

Si te estás refiriendo a la parte donde hice $\dst E_{r+dr}[4 \pi (r+dr)^2]-E_r(4 \pi r^2)$ en realidad lo que estoy haciendo es "flujo neto = (E superficie externa)(área superficie externa) - (E superficie interna)(área superficie interna)", o sea que las áreas involucradas son finitas y se corresponden con las superficies que limitan la cáscara de volumen $dv = 4 \pi r^2 dr$. Los campos también son finitos pero las dos cantidades que se están restando son casi iguales y el resultado es una cantidad infinitesimal. Si no te cuadra imaginarte una superficie cerrada limitada por dos superficies esféricas una dentro de la otra, entonces puedes considerar que estás determinando el flujo neto como el producido por toda la esfera de radio $r+dr$ menos el flujo producido por la esfera de radio $r$.

Supongamos que tenemos una carga uniformemente distribuida en una esfera, el flujo sería por tanto y ¿Qué tal si quisiera ver el ritmo de cambio del flujo? Pues tendría:

Y por tanto necesitaría saber cómo varía la superfície esférica con la variación de radio, que es lo anterior.

Tengo un problema conceptual con esa operación. Verás, la justificación para "sacar" $E$ de la integral del flujo es que su valor es constante sobre la superficie $S$ por tratarse de una superficie esférica concéntrica con la distribución de carga, es decir, que $r$ es constante. Pero en la línea siguiente dices que vas a variar $S$, variando $r$ por supuesto; y entonces ¿cómo queda $E$?

Cuando descartamos es porque es el ritmo de variación de la variación del radio y por ello no tiene mucho sentido, pero si hay más motivos, además que si es infinitamente pequeño, entonces [tex]{d}r^2[tex] será aún menor, me gustaría saberlos.

Ya que $dr$ en una cantidad infinitamente pequeña, ciertamente al elevarla al cuadrado sera mas pequeña aún y despreciable al sumar a otros términos de menor orden.

Por otro lado , pero supongo que lo que hago es operacional y realmente es notación para indicar un infinitésimo de segundo orden.

¡Mosca aquí! $dr^2$ no es $d(r^2)$ sino $(dr)^2$, que son dos cosas absolutamente diferentes.

Y ya que estoy, me gustaría saber qué significado tendría a secas, es decir respecto a nada.

$d^2r$ es una forma abreviada de $d(dr)$.

Yo tengo en mi mente el concepto de "la función que a todo campo vectorial lo transforma en escalar" y eso supongo que no es más que asignarle a cada punto del espacio un número, siendo éste el módulo del campo vectorial en ese punto. Y el gradiente "la función inversa" sí, sé que no es inversa pero el gradiente es la función que le asigna a cada campo escalar un campo vectorial de manera que siempre apunte en dirección de crecimiento.

Pero en verdad ese concepto de divergencia ¡no dice nada! El mejor ejemplo de lo que significa la divergencia de un vector lo leí en algún libro cuyo recuerdo se me pierde en la bruma del tiempo
Imagínate una bombona (aquí le decimos bombona a esos cilindros gordos usados para almacenar gas propano, acetileno, oxígeno, lo que sea) que contiene gas a cierta presión. En cualquier pequeño volumen en su interior hay un continuo intercambio de moléculas con el resto del volumen, existiendo un equilibrio dinámico donde en promedio tantas moléculas salen por unidad de tiempo como moléculas entran. Decimos que la divergencia del vector velocidad es cero, ya que hay tanto flujo saliendo como entrando.

Pero si abrimos la válvula de la bombona de manera que el gas empiece a fluir hacia el exterior, el gas remanente en el interior se irá expandiendo para ocupar todo el volumen. Esto implica que de nuestro pequeño volumen están saliendo mas moléculas que las que están entrando en cualquier intervalo de tiempo. Es decir, el pequeño volumen se comporta como una fuente de moléculas. La divergencia del vector velocidad será positiva en este caso (mas flujo saliendo que entrando). Si estás llenando la bombona es lugar de estarla vaciando la situación se invierte. El gas se comprime en el interior, nuestro pequeño volumen se comporta como un sumidero y hay mas moléculas entrando que saliendo, la divergencia es negativa.

De manera que la divergencia de un vector asocia con cada punto del espacio un valor que significa cuanto flujo por unidad de volumen se origina en ese punto. En el caso del campo eléctrico las fuentes son las cargas y la divergencia asocia ese flujo con la existencia de una cierta densidad de carga en ese punto.

¡Ups!, lo siento si me extendí mucho. Saludos,

Al

[CSkills]

[QUOTE=Al2000;n112806]Re: Problema: Conductor esférico cargado no uniformemente.


Si no te cuadra imaginarte una superficie cerrada limitada por dos superficies esféricas una dentro de la otra, entonces puedes considerar que estás determinando el flujo neto como el producido por toda la esfera de radio $r+dr$ menos el flujo producido por la esfera de radio $r$.



Muy buenas amigo, he buscado mucho alguien que explicara ese ejercicio y la verdad puedo notar que domina a la perfección el tema, yo soy nuevo en esto, y solo tengo una duda

Si sigo esa ilustración sería como usar superposición, yo conozco la fórmula como: $\Phi_{(r\le a)} = \oint_A\vec{E}{d}\vec{A}$, pero al seguir el método de superposición y para que me quede la expresión como a usted le quedó, tendría que asumir que el E_r+dr y E_r son constante para que así salga de la integral y al final me quede el area no? para posterior a eso restarlo y llegar a la misma expresión que usted ??

discúlpeme si estoy faltando al respeto a las notaciones matemáticas, me gustaría muchísimo entender ese problema.

[Al2000]

En el enunciado del problema queda claro que el campo depende únicamente de r, la distancia al centro de la distribución. Por consiguiente, no es cuestión de asumir que el campo sea constante, sino más bien de notar que su valor será constante sobre cualquier superficie esférica concéntrica con la distribución.

Saludos,

$\mathcal A \ell$