Otras carreras como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

[xxx]

Como se demuestra que:
Vab= Sumatoria de Ri - Sumatoria de epsilon

Demostrar que d=DENSIDAD DE CARGA SUPERFICIAL POR CAMPO ELECTRICO

ES IGUAL A V=Ri

[juantv]

Re: como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

Saludo

Yo lo hize asi:

preliminares:

Una malla es un camino cerrado

La integral cumple la propiedad de linealidad

Desarrollo

la diferencia de potencial es:

$\dst \Delta \varphi = -\int_{\vec{r}_i}^{\vec{r}_f} \vec{E}(\vec{r}) \cdot d\vec{r}$

en nuestro caso, los limites de integracion seran iguales(camino cerrado, queremos integrar partiendo de un punto y terminando en el mismo)

Sabemos por el calculo vectorial que:

un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo.

esto es:

$\dst \int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a))$

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.

Para nuestro caso se cumple, pues ya debes haber visto que el campo electrico es el gradiente de potencial

$\dst - \nabla \varphi = \mathbf{E}$

Bien, dicho esto , integremos a lo largo de un camino cerrado (r(b) = r(a)) y la integral debe ser cero:

$\dst \oint_{C} \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$

pero esta integral se puede escribir como una suma de integrales de cada tramo (por la propiedad del preliminar) , y cada integral de tramo representa un $\Delta \phi _i$ que tendra cierta expresion conocida dependiendo del elemento que se halla en ese tramo, esto es :

$\dst \sum_{i} \Delta \varphi _i = 0$

que es precisamente la ley de malla de Kirchhoff, supongamos que hay una fuente y varios resistores conectados en serie, entonces la resistencia total sera la suma de cada resistencia de cada resistor( xD), y por la ley de ohm(que demostrare mas adelante) la caida de potencial viene dado por $\dst V = R i$ , siendo ''i'' la corriente que pasa ese sitemaDe acuerdo a la convencion de signos nos quedara :

$\dst - \xi + R_1 i + R_2 i ... + R_n i = 0$

que es la ecuacion de circuito, en fin solo era un ejemplo. si tengo tiempo muestro la de la ley de ohm, espero haberte colaborado

[juantv]

Re: como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

A proposito, no entiendo lo ultimo que dices:

''Demostrar que d=DENSIDAD DE CARGA SUPERFICIAL POR CAMPO ELECTRICO

ES IGUAL A V=Ri''

A que te refieres con '' d '' ?

[xxx]

Re: como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

es la conductividad del conductor

[lucass]

Re: como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

Querrás decir que $\vec j = \sigma \vec E$ (o sea, densidad de corriente = conductividad * campo electrico), y que lo que pide el ejercicio es ver que ésta es la ley de Ohm (o sea V=Ri)?

[juantv]

Re: como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

xxx , No confundas la conductividad con la densidad de carga superficial, aun cuando se use el mismo simbolo

[juantv]

Re: como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

Saludo de nuevo


Dado que no se si se comprendio del todo lo que hize arriba( use resultados del calculo vectorial ), para lo de v = R i , lo hare mas simple

[juantv]

Re: como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

que paso?, ya habia hecho eso, se borro? , nah ya no hago otra, lo siento.

[GNzcuber]

Re: como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

Hola a%

[GNzcuber]

Re: como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

Hola a todos,

Bueno no sé qué hizo juantv, ya que parece que se borró, es una pena. Yo haré algo realmente simple sólo por continuar el hilo y que vayan corrigiendo mis errores y podamos tener algo más completo:

Primero que nada:
- $\dst \vec{J}$ es la densidad eléctrica.
- $\dst n$ es la densidad de portadores de carga, es decir electrones libres por unidad de volumen.
- $\dst \sigma$ es la conductividad del conductor.
- $\dst I$ es la intensidad.
- $\dst q$ es la carga de cada portador de carga.
- $\dst V$ es el potencial o diferencia de potencial eléctrica.
- $\dst \vec{E}$ es el campo eléctrico.
- $\dst A$ es el área del conductor.
- $\dst v_D$ es la velocidad de deriva o desplazamiento.

Bueno, partimos de la igualdad propuesta:

$$\dst \vec{J}=\sigma\cdot\vec{E}$$

Sabiendo que

$$\dst J=\frac{I}{A}=\frac{Q}{t A}=\frac{qnLA}{tA}=qnv_D$$

$$\dst \vec{E}=\frac{V}{\vec{L}}$$

Sustituyendo en (1)

$$\dst qnv_D=\sigma \frac{V}{L}\Rightarrow V=\frac{qnv_DL}{\sigma}=\rho \frac{Q}{AL}\frac{L^2}{t}=\rho \frac{L}{A}I$$

Donde $\dst \rho=\frac1{\sigma}$ que es la resistividad del conductor

Y esa es la ley de Coulomb, a $\dst \rho\frac{L}{A}=R$ y por tanto:

$$\dst V=R\cdot I$$

Antes que nada en el desarrollo de la igualdad después de haber sustituido los valores, en el paso del segundo miembro al tercero he tenido en cuenta $\dst qn=\rho_e=\frac{Q}{Vol}$ que es la densidad volúmica de carga eléctrica.

Si os fijáis en (2) no lo hago vectorialmente porque lo único que tiene sentido que sea vectorial es la intensidad de corriente, pero ésta no es una magnitud vectorial.

¡Un saludo!

[Al2000]

Re: como demostrar ley de las mallas o voltajes de kirchoff

...
Si os fijáis en (2) no lo hago vectorialmente porque lo único que tiene sentido que sea vectorial es la intensidad de corriente, pero ésta no es una magnitud vectorial.
...

En realidad debes renunciar a expresar vectorialmente las ecuaciones (1) y (3) también, especialmente la (3) puesto que la división de un escalar y un vector no está definida.

El problema de una demostración como esta es que no es suficiente con conseguir las fórmulas que encajen como piezas de un rompecabezas para hilar un desarrollo desde una expresión inicial a otra final. En cada paso del desarrollo hay que considerar el ámbito de aplicabilidad de cada expresión, el alcance, los supuestos usados al determinarla, etc.

Por ejemplo, mientras que la relación $\vec J = \sigma \cdot \vec E$ es bastante general (existen sustancias en las cuales $\sigma$ no es un escalar, pero ignoremos el asunto), al escribir tanto $J = I/A$ como $E = V/L$ automáticamente estás implicando que $J$ y $E$ son constantes. Por consiguiente el resultado final del análisis, $V = R \cdot I$, a lo sumo demostrará que la relación es válida para un conductor prismático elaborado con un material homogéneo e isotrópico donde se considera la conducción de corriente a lo largo del eje del prisma.

La relación $V = R \cdot I$ es general porque simplemente se define la resistencia de un conductor como el cociente del voltaje aplicado entre la corriente que circula. Nada en esa definición implica que $R$, sera constante o variable, o que dependa de alguna forma u otra de las dimensiones del conductor. Mientras que en caso de un prisma la resistencia viene dada por la expresión ya mencionada, será absolutamente diferente en el caso de, por poner algún ejemplo, dos cáscaras esféricas concéntricas, o una cuña o un anillo.

Dicho lo anterior, añado que si es tu deseo mostrar como pasar de (1) a (4) en el caso particular mencionado arriba, puedes hacer un ejercicio de síntesis y evitar el paso de introducir la velocidad de deriva y compañía simplemente sustituyendo $J = I/A$ y $E = V/L$ en (1) y definiendo la resistencia tal cual lo hiciste antes.

Un saludo afectuoso,

Al