Otras carreras Placa y particula

[Facaz]

Buenas, queria ver si me podian ayudar en este ejercicio. He planteado los casos posibles y llegue a algo medio absurdo, asi que qeria ver si me podian dar una mano.

Muchas gracias

[Al2000]

Re: Placa y particula

Primero habría que reconocer que lo que se está pidiendo es el punto del espacio en el cual el campo es nulo para la combinación carga puntual + plano infinito. De inmediato debe concluirse que tal punto, en caso de existir, debe encontrarse en la línea que pasa por la carga puntual y es perpendicular al plano. Una segunda conclusión sería que el punto, en caso de existir, debe encontrarse en el segmento que une la carga puntual y el plano en caso de cargas del mismo signo, o en la prolongación del segmento en el caso de cargas de signos diferentes.

El problema es análogo al de conseguir el punto donde el campo es cero para dos cargas puntuales, pero uno de los dos campos es constante.

Eligiendo de forma arbitraria, pero sin perder generalidad, que la carga puntual se encuentra en el origen de coordenadas y que el plano cargado es perpendicular al eje X y lo corta en $x = d > 0$, el campo en cualquier punto del espacio vale

$\dst \boldsymbol E = \frac Q {4 \pi \epsilon_0} \frac {x \boldsymbol i + y \boldsymbol j + z \boldsymbol k}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} + \frac \sigma {2 \epsilon_0} \frac {(x-d) \boldsymbol i}{|x-d|}$

Como se dijo anteriormente, para que este campo valga cero las coordenadas $y$ y $z$ deben ser cero. Esto nos deja con la ecuación

$\dst \frac Q {4 \pi \epsilon_0} \frac x {|x|^3} + \frac \sigma {2 \epsilon_0} \frac {x-d}{|x-d|} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac Q {2 \pi} \frac x {|x|^3} + \sigma \frac {x-d}{|x-d|} = 0$

Existen tres posibilidades: el punto donde el campo se anula se encuentra a la derecha del plano ($x > d$), se encuentra entre la carga puntual y el plano ($0< x < d$) o se encuentra a la izquierda de la carga puntual ($x < 0)$.

- Caso 1 ($x > d$): $\dst \frac Q {2 \pi x^2} + \sigma = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt {- \frac Q {2 \pi \sigma}}$

- Caso 2 ($0< x < d$): $\dst \frac Q {2 \pi x^2} - \sigma = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt {\frac Q {2 \pi \sigma}}$

- Caso 3 ($x < 0$): $\dst - \frac Q {2 \pi x^2} - \sigma = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\sqrt {- \frac Q {2 \pi \sigma}}$

Aquí se pueden ver las condiciones mencionadas anteriormente. Para los casos 1 y 3 los signos de la cargas deben ser distintos y en el caso 2 deben ser iguales.

Nota que para que exista solución en cada caso debe cumplirse la desigualdad. Es decir, en el caso 1 (cargas de distinto signo) debe cumplirse que

$\dst x = \sqrt {- \frac Q {2 \pi \sigma}} > d \quad \Rightarrow \quad - \frac Q {\sigma d^2} > 2 \pi$

caso contrario no habrá solución. Análogamente en el caso 2

$\dst x = \sqrt {\frac Q {2 \pi \sigma}} < d \quad \Rightarrow \quad \frac Q {\sigma d^2} < 2 \pi$

En el caso 3 siempre hay solución (siempre podemos alejarnos lo suficiente de la carga puntual como para que el campo del plano anule el de la carga).

La respuesta al inciso b) es no, solo puede existir un punto de campo nulo. La respuesta al inciso c) sale de la discusión anterior de los casos 1 y 2.

Respecto al equilibrio: estrictamente hablando ningún punto es de equilibrio estable. La ecuación de Laplace nos muestra que no puede haber ningún punto de equilibrio estable en el espacio vacío. Sin embargo es posible tener un equilibrio del tipo de silla de montar, es decir, un punto donde hay equilibrio estable en una dirección e inestable en la otra. El tipo de equilibrio dependerá del signo de la carga de prueba. Por ejemplo, en el caso 2 (puntos entre la carga y el plano) si la carga de prueba es del mismo signo que la carga/plano, el equilibrio será estable (en dirección $x$) mientras que si es de signo diferente el equilibrio será inestable. Te dejo a ti el análisis de los otros casos.

Saludos,

Al

PD. Cometí una ligereza cuando afirmé que "La respuesta al inciso b) es no, solo puede existir un punto de campo nulo" y me contradije yo mismo, puesto que es posible que si las cargas son de distinto signo exista una solución del caso 1 y del caso 3, del cual siempre hay solución. Entonces la respuesta correcta es que si $\dst - \frac Q {\sigma d^2} > 2 \pi$ habrán dos soluciones (casos 1 y 3).

[Facaz]

Re: Placa y particula

Gracias!! muy completo todo!!! pero me qedan dudas en un par de cosas. Mi profesor (un desastre) nos dijo que el campo producido por un plano infinito es $E=\dst\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ y no aparecia ningun $2$, por la forma en qe tomaba el $\sigma$ creo, pero no recuerdo como lo tomaba... como es el $\sigma$ para qeu el campo sea $E=\dst\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}$?? El $\sigma$ seria la densidad de carga de una sup o de las dos??
Otra duda es que nunca planteamos la Ley de Coulomb vectorialmente, siempre haciamos por componentes, y nose porqe te aparece $x$, $y$ y $z$ arriba de la ecuacion y porqe aabajo esta elevado a la $3/2$.. Si me podrias explicar..
Y la ultima es porqe en el campo del plano pones $\dst\frac{(x-d)}{|x-d|}$, si el campo es constante...

Muchas gracias

[Al2000]

Re: Placa y particula

...
Mi profesor (un desastre) nos dijo que el campo producido por un plano infinito es $E=\dst\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$ y no aparecia ningun $2$, por la forma en qe tomaba el $\sigma$ creo, pero no recuerdo como lo tomaba... como es el $\sigma$ para qeu el campo sea $E=\dst\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}$?? El $\sigma$ seria la densidad de carga de una sup o de las dos??
...

Pienso que estás confundiendo el campo de un plano infinito con el campo en puntos cercanos a la superficie de un conductor o el campo entre dos planos infinitos, como en un condensador.

...
Otra duda es que nunca planteamos la Ley de Coulomb vectorialmente, siempre haciamos por componentes, y nose porqe te aparece $x$, $y$ y $z$ arriba de la ecuacion y porqe aabajo esta elevado a la $3/2$.. Si me podrias explicar..
...

El campo de una carga puntual es radial y varía con el inverso del cuadrado de la distancia. Vectorialmente se escribe

$\dst \boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {r^2} \boldsymbol u_r$

pero $\dst \boldsymbol u_r = \boldsymbol r / r$, de modo que se puede escribir

$\dst \boldsymbol E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q {r^2} \frac {\boldsymbol r} r = \frac q {4 \pi \epsilon_0} \frac {\boldsymbol r} {r^3}$

Lo demás es recordar que en coordenadas cartesianas (3D) $\dst \boldsymbol r = x \boldsymbol i + y \boldsymbol j + z \boldsymbol k$ y $\dst r = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$

...
Y la ultima es porqe en el campo del plano pones $\dst\frac{(x-d)}{|x-d|}$, si el campo es constante...
...

El campo del plano es constante cuando consideras que siempre estás del mismo lado del plano, pero cuando lo quieres expresar como función de una coordenada debes tomar en cuenta el cambio de sentido que ocurre cuando pasas de un lado al otro del plano. Si ubicas el plano en el origen de coordenadas y perpendicular al eje X, el campo se expresaría

$\boldsymbol E = <br /> \left \{\begin{matrix}<br /> \dst - \frac \sigma {2 \epsilon_0} \boldsymbol i\,, & x < 0\\ \\<br /> \dst \frac \sigma {2 \epsilon_0} \boldsymbol i\,, & x > 0<br /> \end{matrix}\right .<br />$

que lo puedes expresar de forma mas compacta usando la función signo en la forma

$\dst \boldsymbol E = \frac \sigma {2 \epsilon_0} \mathrm {sign}(x)\,\boldsymbol i = \frac \sigma {2 \epsilon_0} \frac x {|x|}\,\boldsymbol i$

También es bueno que recuerdes, aunque no lo preguntaste, que $\dst \sqrt {x^2} = |x|$.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Placa y particula

Bueno, no es la primera vez que me tiran un huesito y después de mordisquearlo lo suficiente para responder la pregunta me queda rondando por la mente un y si...

Resulta que el análisis de la estabilidad de los equilibrios conseguidos tiene una solución muy sencilla en este caso. Si queremos determinar un punto de equilibrio lo que tenemos que hacer es calcular el(los) mínimo(s) de la energía potencial eléctrica, lo que es equivalente a calcular el mínimo/máximo del potencial. Determinar un valor extremo del potencial es lo mismo que determinar donde el campo eléctrico es cero. Todo eso está hecho en el segundo mensaje y entonces lo que falta es calcular la segunda derivada del potencial, es decir, la derivada del campo obtenido, para saber si el potencial tiene un máximo o un mínimo.

Derivando la ecuación del campo eléctrico, cambiando el signo y multiplicando por $q$, no es difícil obtener que la segunda derivada de la energía potencial es

$\dst \frac {d^2 U}{dx^2} = \frac 1 {2 \pi \epsilon_0} \frac {q \, Q} {|x|^3}$

de donde de inmediato se deduce que si el signo de la carga de prueba $q$ es el mismo de la carga $Q$ entonces la energía tiene un mínimo y por lo tanto el equilibrio es estable (respecto de $x$), siendo inestable en caso contrario. Interesante como el tipo de equilibrio no depende de la carga del plano.

Saludos,

Al

[Facaz]

Re: Placa y particula

Muchas gracias!!! fue de gran ayuda tu explicacion!!!

[Facaz]

Re: Placa y particula

Hola Al2000, me puse a hacerlo y tengo un problema...
Yo considere la placa ubicada en $x=0$ y la partícula en $x=d$ y calcule el campo en un punto $x=x_{o}$

$E(x_{o})=\dst\frac{\sigma}{2\varepsilon}+\dst\frac{1}{4\pi \varepsilon}\frac{q_{o}}{(d-x_{o})^{2}}$

Y de acá obtengo que

$x_{o}=d\pm \sqrt{\dst\frac{-q_{o}}{2\pi \sigma}}$

Pero obtengo que siempre los signos de ambos deben ser opuestos, y así se me va la solución de cuando $0\leq x_{o}\leq d$
Y despues para sacar la función potencial calcule

$U(x)=\dst\int qE dx$

Pero nose que extremos darles...
Si me podrías ayudar te lo agradezco.

Muchas gracias

[Al2000]

Re: Placa y particula

Te respondo con retraso porque cuando estaba leyendo tu mensaje llegó mi esposa a fastidiarme con que teníamos que salir... así que como buen varón domado apagué el computador y me fui con ella. Después olvidé que tenía pendiente una respuesta. Desafortunadamente el foro no permite marcar un mensaje como no leído o pendiente.

Hola Al2000, me puse a hacerlo y tengo un problema...
Yo considere la placa ubicada en $x=0$ y la partícula en $x=d$ y calcule el campo en un punto $x=x_{o}$

$E(x_{o})=\dst\frac{\sigma}{2\varepsilon}+\dst\frac{1}{4\pi \varepsilon}\frac{q_{o}}{(d-x_{o})^{2}}$

Y de acá obtengo que

$x_{o}=d\pm \sqrt{\dst\frac{-q_{o}}{2\pi \sigma}}$

Pero obtengo que siempre los signos de ambos deben ser opuestos, y así se me va la solución de cuando $0\leq x_{o}\leq d$
Y despues para sacar la función potencial calcule

$U(x)=\dst\int qE dx$

Pero nose que extremos darles...
...

La solución te obliga a signos opuestos porque en la expresión del campo así lo estableciste. Como no estás trabajando vectorialmente tendrías que incluir doble signo en la suma para permitir soluciones con cargas del mismo signo:

$E(x_{o})=\dst\frac{\sigma}{2\varepsilon} \pm \frac{1}{4\pi \varepsilon}\frac{q_{o}}{(d-x_{o})^{2}}$

con lo cual llegarías a

$x_{o}=\dst d \pm \sqrt{\pm \frac{q_{o}}{2\pi \sigma}}$

Aquí habría que someter a escrutinio el resultado para ver cuales combinaciones de signos son legítimas y cuales espurias.

En el cálculo de la energía te dejaste un signo negativo por fuera, recuerda que la fuerza es la menos derivada de la energía potencial. Respecto a los límites, integra en forma indefinida e introduce una constante de integración. Esta constante la puedes ajustar a tu gusto de modo que la expresión final sea sencilla. Recuerda que al trabajar con energía potencial lo que importa son los cambios; el nivel de refencia lo estableces a tu conveniencia. Lo usual sería tomar la constante de integración de modo que todos los términos constantes del resultado se anulen.

Saludos,

Al

[Facaz]

Re: Placa y particula

Jajaja, bueno, no hay que descuidarlas tampoco...
En cuanto al problema, me quedo claro lo de los signos del campo, pero para el potencial, yo me acuerdo que no le ponía el signo negativo pero que cambiaba los extremos de integración, por eso lo puse positivo. Hacía esto:

$\Delta U=-W$

$U_{f}-U_{i}=-\dst\int_{i}^{f}qEdr=\dst\int_{f}^{i}qEdr$

Por eso no le ponía el signo, y por eso tenía dudas con los extremos...