Olimpiada Propuesto, el modelo de Bhor

[Ulises7]

Pues como hay vida más allá de la gravitación aquí va éste problema:

En el modelo clásico de un átomo de hidrógeno se considera que un electrón gira alrededor de un protón siguiendo una órbita circular de radio $r = 0,53 \cdot 10^{-10} \; m$,

a) ¿Con qué velocidad gira el electrón?
b) ¿Cuál es la relación entre la energía potencial y la energía cinética del electrón?
c) Demuestra que la energía total del electrón vale: $E = -\dfrac{ke^2}{2r}$
d) Si el electrón absorbe un fotón, se excita y pasa a describir una órbita de radio $r = 2,12 \cdot 10^{-10} \; m$. ¿Cuál es la frecuencia f del fotón?

Ayuda: $K = 9 \cdot 10^9 \; N m^2 C^{-2}$, $e = 1,602 \cdot 10^{-19} \; C$, $m_e = 9,11 \cdot 10^{-31} \; kg$, La energia de un fotón es: $E = hf$, donde $h = 6,626 \cdot 10^{-34} \; J s$ es la constante de Planck.

saludos

[arivasm]

Re: Propuesto, el modelo de Bhor

Un problema tan sencillo no debería quedar sin respuesta tanto tiempo... (aunque quizá por eso se ha quedado así!). Aunque sólo sea por no dejar vacíos, aquí va la solución:

a) En el modelo de Bohr el electrón del hidrógeno sigue una órbita circular alrededor del núcleo, debido a la fuerza de Coulomb, $k e^2/r^2$. Por tanto, de la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta el carácter exclusivamente centrípeto de dicha fuerza, tenemos que

$k {{e^2} \over {r}} = m v^2$ (1)

Substituyendo los valores del enunciado encontramos que $v = 2,2 \cdot {10}^{6} m/s$.

b) Como la energía potencial de la fuerza de Coulomb que actúa sobre el electrón es $U = - k e^2 / r$, teniendo en cuenta (1) encontramos que la relación buscada puede expresarse (llamando K a la energía cinética del electrón) como

$U = - 2 K$

c) De acuerdo con este último resultado, la energía mecánica será

$E = K+U = \frac{1}{2} U = -{{k e^2} \over {2 r}}$

d) El cambio en la energía del sistema debido a la absorción del fotón, que es igual a la energía de éste, será, si llamamos r' al radio de la nueva órbita,

$h f = \frac{1}{2} k e^2 \left( \frac{1}{r}-\frac{1}{r'}\right)$

De este modo, encontramos que $f =2,47 \cdot {10}^{15} Hz$.